私たちが対象を認知するということは、頭の中にイメージを作り上げるということである。 私たち人間は、現実世界の全てを同時にそっくりそのまま受け入れる能力を、残念ながら持ち合わせてはいない。 そこで私たちは現実世界の特定の一部分だけをピックアップ（抽象化）して、人間に受け入れやすいイメージを思い描く。 （言葉にするとひどく難しいことのような気もするが、実際には無意識の内に誰しもが行なっていることだ。） このように頭に描いたイメージのことを、物理学の世界ではしばしば「モデル」と呼ぶ。 同じ対象であっても、人により、考え方により、目的により、作り上げるモデルは様々に異なる。 統計力学という考え方においても、現実の世界をあるモデルの上に投影する。 そのモデルとは、大雑把にいうと「世界を構成する全ての粒子の運動を数値化したもの」である。 統計力学では、このモデルのことを「位相空間」と呼んでいる。 ここでは、位相空間とは何かについて手短に説明しよう。

いま、箱の中にただ一つの分子が入った世界を考えよう。 この世界で起こる出来事といえば、分子が動いて、時々刻々と位置を変えるということだけだ。 この世界の状況を表すには、分子の位置と速度を書き下せば充分である。 分子の位置は、縦、横、高さの３個の数字で表すことができる。 分子の速度も、縦方向、横方向、上下方向の３個の数字で表すことができる。 結局この世界は、合計６個の数字で表現できるわけだ。 たとえ分子を直接見ることができなくても、何らかの測定装置を用いて６個の数字を常時観測すれば、この小さな世界の全てを把握できることになる。 次に、箱の中に２つの分子が入った世界を考えよう。 この世界では分子がただ直進する他に、時々衝突して向きを変えるという事件も起こる。 ２つの分子の世界を数字で表すには、一分子につき６個の数字が必要だから６＊２で１２個の数字が必要だ。 この１２個の数字のうちの２個の符号が同時に入れ替わったなら、「いま衝突が起こったな」ということがわかるだろう。 同様に、３個の分子は１８個の、４個の分子は２４個の、ｎ個の分子は６ｎ個の数字でもって運動を表現することができる。 ここまでは分子の並進運動のみを取り上げたが、さらに分子の回転運動を考慮に入れるとどうなるだろうか。 回転にはピッチ、ロール、ヨーの三方向があるので、一分子につき新たに３個の数字が加わることになる。 さらに分子が振動運動しているとすれば、また幾つかの数字が加わることになるだろう。 最も単純な２原子分子の振動は、伸び縮みだけなので一つの数字で表現できる。 もっと複雑な分子では、振動の仕方に応じて複数個の数字が必要となる。 結局ｎ個の分子でできた世界の全ての運動を数字に直すと、ｎ＊（並進位置の３個＋並進速度の３個＋回転位置の３個＋回転速度の３個＋振動位置のｘ個＋振動速度のｘ個）だけの数字が必要となる。 実際の分子は運動するだけではなく、さらに電気的な力が働いたり、光を通じての相互作用があったりする。 しかしまず第一段階として、力学的運動だけを取り上げるのが慣例だ。 というのは、電子や光には古典的な考え方が通用しないからである。 不思議なことだが、電子の運動を一つの（あるいは複数有限個の）実数で表すことはできない。 我々は、とりあえず直接数字に直すことができる範囲に的を絞って次の段階に進もう。

我々の住む世界の空間は（日常的なスケールでは）３次元である。 なので、我々が図や模型を使って単一の要素を表現すると、せいぜい３つの変数までしか視覚化することができない。 ４個以上の変数を視覚化に頼らずに実感するには、大いに想像力を働かせる必要がある。 いまここで、１点を指定するのに４つの数字が必要となるような４次元空間を強引に思い描いてみよう。 もちろん４次元空間など誰も見たことがないし、おいそれと示すこともできない。 ４次元空間の性質は、１、２、３次元からの類推と想像力によって補うしかない。 例えば４次元立方体の体積は一辺の長さの４乗だろうし、４次元の球面を式で表せば r^4 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 だろうし、その体積はπ^2 r^4 / 2 となるだろう。 物理的に実在しなくても、想像が困難であっても、とにかく計算はできるといった微妙な状況になる。 もっと大きな次元、１０次元空間や１００次元空間であっても、ある種の計算規則と想像力からその性質を導き出すことができる。 １００次元空間内の一点を指定するということは、１００個の数字の値を指定するのと同じことである。

さて、我々はたくさんの分子でできた世界を考えて、その世界で起こる事象の全てを数字で表すことができた。 分子の数がたくさんだったなら、その世界を表す数字の数はわをかけてたくさんということになるが、とにかく有限個の数字の組でもって世界を表現することができる。 いま仮に、世界がＺ個の数字の組で表現できたとしよう。 次に、Ｚ個の座標が直行するＺ次元の空間を考えて、そこに世界を表すＺ個の数字をプロットする。 プロットの作業は、このＺ次元の空間内の一点を指定するだけでよい。 Ｚ次元の空間内の一点を指定することは、Ｚ個の数字を指定するのと同じ、つまり実際の世界での分子運動の全てを決めるのと同じことである。 Ｚ次元空間の一点一点が、現実世界の状態の一つ一つに対応しているわけだ。 そこでこのＺ次元空間を、現実世界を投影した世界ということで「位相空間」と呼んでいるのである。

ここでよく疑問に挙がるのが「そのような多次元空間は本当に存在するのか」ということではなかろうか。 観念の世界に深くはまり込んだ結果、何やら現実からとんでもなくかけ離れたところに迷走しているのではないか。 実体のない想像をたくましくするのは勝手だが、そのような想像の産物が物理的な実在の一面を正しく表現しているという保証はあるのだろうか。 残念ながら、数学的なモデルだからといって常に正しいとは限らない。 （前提が間違っていれば、いかに数学的であっても、物理的には全く意味を為さないモデルはいくらでも作れる。） モデルの正しさを保証するのは、現実との対応関係がとれているかどうかによると思う。 例えば、地図というものは現実の町や地形を表現した１つのモデルである。 現実と寸分違わない完全な地図とは、縮尺１：１の地図、つまり世界そのもののコピーということになるだろう。 しかし、それでは地図としては全く機能しない。 それ以外の、実際に役立つ地図とは単なる紙の上の模様に過ぎず、現実の世界を「完全に」表してはいない。 だからといって「不完全な地図」が全くの無意味だと言えるだろうか。 地図が役に立つのは、読み手が紙の上の記号から現実世界を想像できるからだ。 紙の上の記号と現実世界との間に一定の対応ルールがあれば、地図はルールを理解する者にとって役に立つ。 そして対応ルールが複数の人の間で共有できれば、地図はルールを共有している者にとって共通の価値を持つのである。 さて、上で紹介した「位相空間」とは、言うなれば現実世界の地図である。 そしてこの場合、地図を読み取るルールは直感的な記号ではなく、数式を用いる。 地図が全く無意味だというのも間違いならば、地図だけを眺めて旅行したのと同じ体験を得た、というのも間違いだろう。 その意味で我々は、位相空間で表された現実世界を本当に「体験」することはできない。 ただ拙い数式を頼りに「本当の世界」を想像するだけである。

前の節で因果律に従う決定論的な時間の話をした。 因果律に従う世界は、あたかも過去から未来へ連なる一筋の糸のように、決定された道筋の上を進むのだと私はお話した。 まず、時間に沿って変化して行く世界を一筋の糸として思い浮かべてみよう。 この糸の上にある点は、ある時刻における「世界」を表している。 糸の上から外れた点は、現実には起こらなかった（そしてこれからも起こらない）世界を表している。 それでは、いま漠然とイメージを浮かべた、糸を描いた空間は一体何なのだろうか。 この空間の一点一点がそれぞれ世界の状態を表しているのだから、この空間こそが「位相空間」なのである。 位相空間において、時間の進行に伴う世界の変化は、一本の軌跡となって表される。 一つの原因から一つの結果しか得られないのだから、軌跡は途中で枝別れしたり合流したりはしない。 枝別れや合流がないのだから、異なる２本の軌跡はどこまでも交わることなく平行線のままである。 別の軌跡とは、いわゆる「パラレル・ワールド」のことである。

位相空間のことをもう少し詳しく調べてみよう。 位相空間の正体は、時間と共に変化するＺ個の数字（のとり得る範囲）ということだ。 ところで、このＺ個の数字は決しててんでばらばらに変化するのではない。 ある法則に則って着実に変化しているのである。 ということは、この法則さえわかれば、理屈の上では軌跡のたどる先、未来を知ることができるわけだ。 「法則」というのはたいして難しいものではない。 大抵の物理の授業で一番最初に教わるニュートンの法則、「運動方程式」のことだ。
「物体の次の瞬間の位置は、現在の位置に瞬間速度を加えたものである。速度の変化は物体に働く力に等しい。」

Ｚ個の数字について運動方程式を立てて、これを解くことができたならば、未来を完全に予知したことになるだろう。

もし驚異的な演算能力を持った超人がいたとしたなら、彼は過去も未来も全てを言い当てることができるわけだ。 このような超人は俗に「ラプラスの魔」と呼ばれている。 ラプラスはフランス革命の頃に活躍した数学者で、ラプラシアンやラプラス変換に名を留めている。 決定論については多くの議論があるが、現在ではこのような完全な未来予知を行なうことはできないという結論が下されている。 主な理由は、

ここでは理由１：はさておいて、理由２：に焦点をあてることにしよう。

「ラプラスの魔」は先に紹介した「マックスウエルの悪魔」の兄弟分にあたる。 というのは、「ラプラスの魔」が存在すれば「マックスウエルの悪魔」も存在可能となるからである。 もし「ラプラスの魔」のようにこの世の分子運動の全てを知り尽くしていたならば、もはや利用できない熱エネルギーというものは存在しない。 次の瞬間にどの方角から、どの位の速度で分子が飛んでくるのかあらかじめ知っているのだから、分子の運動エネルギーを利用したいものに振り向けるのは容易なことであろう。 ところが、分子の位置や速度を知るのは、ただでできることではない。 位置や速度を知るためには分子の測定を行なわなければならないのだが、この測定にはどうしてもエネルギーの消費が伴う。 消費したエネルギーは結局のところ熱運動となる。 せっかく測定して分子の運動がわかったとしても、測定装置という別の場所で新たにわからない運動が生じるので、どうあがいても「この世の全てを知る」ことはできない。 未来予知は、永久機関ができないのと同じ理由で実現不可能な夢だったのである。