エントロピーとは、分子運動にまで遡って考えると「体系の持つ場合の数の対数」ということであった。 あるいは「分子が取り得る仮想的な空間の広さの対数」と言い換えてもよい。 式で表せば

ここで、Ｗは「体系の持つ場合の数」、あるいは「分子が取り得る仮想的な空間の広さ」のことである。 この式は、前節に示したように気体の等温膨張から導かれたものだが、やはり「数式をいじっている間に降って湧いた」感をぬぐいきれないものと思う。 場合の数Ｗの方は（その解釈は難しいものの）さておき、なぜｌｎという演算が付くのか理解に苦しむ。 ここでは「なぜ対数なのか」に焦点をあててエントロピーの定義式の解釈を試みよう。

そもそも対数とは何であったかというと「掛け算を足し算に直す」演算のことであった。

エントロピーにおいても、この「掛け算と足し算の間の橋渡し」という性質が大きな意味を持つ。 その心は次の通りである。

いまここに、２つの独立な体系Ａ，Ｂがあったとしよう。 ＡとＢを合わせたとき、その体積はＶＡ＋ＶＢ、分子数もＮＡ＋ＮＢ、エネルギーもＥＡ＋ＥＢとなる。 ところが、体系の持つ場合の数は足し算にはならない。 Ａの場合の数がＷＡ通り、Ｂの場合の数がＷＢ通りだったとすれば、Ａ，Ｂ２つを合わせたときの場合の数はＷＡ＊ＷＢという掛け算になる。 ここで場合の数を直接扱うのではなく、あらかじめＳ＝ｌｎ（Ｗ）という量に直しておけば、Ａ，Ｂ２つを合わせたときのＳは

という足し算で扱うことができるのだ。（比例定数ｋは省いてある）

いま、全く同様の２つの体系ＡとＢの持つ全エネルギーがＥだったしよう。

ここで、２つの体系を合わせたときの場合の数が最も大きくなるのはどのようなときであろうか。 ２つの体系を合わせたときの場合の数は つまり、この問題は２つの値Ａ、Ｂの和が一定のとき、２つの値の積Ａ＊Ｂを最大にせよ、という問題と同じである。 長さ一定のロープで長方形を作ったとき、面積を最大にするのはどのような場合だろうか。 答えは正方形のとき、つまりＡ＝Ｂのときである。 これが何を表しているかというと、体系の持つエネルギーＥＡ＝ＥＢとなるときが最も場合の数が多い、即ち、２つの体系の温度は放っておけば等しくなることを表しているのである。

ところで、前の節には「体系のとる場合の数は部屋の体積に比例する」、あるいは「仮想的な速度空間の広さに比例する」とあった。 しかし上には「場合の数は掛け算で増える」とある。 この２つは食い違っていないだろうか。 ともすると勘違いしやすいのだが、この２つは違う状況を指しているのである。 前者の、部屋の体積を問題にしていたときは、例えば「１個の分子の動き回る範囲が２倍になる」という状況を想定していた。 一方、後者では体系自体がそっくりそのまま増える、つまり「２個の分子と２倍の広さの部屋」を想定している。 このように、場合の数の数え方というものは何かと落とし穴が多い。 よく条件を確認しないと、一見正しそうで実は全く違った答を返すことがある。 私感だが、高度な数式の変形より、場合の数を正しく見抜く方が難しく、奥深いとさえ思う。

場合の数とは、組み合せの問題に見られるように、個々の要素の持つ値の掛け算で増えてゆく。 例えば、メインディッシュがビーフ、チキン、魚の３通り、ワインが赤と白の２通りあったなら、食事の選択肢は３ｘ２の６通りとなる。 このように掛け算で増えてゆく値を、普通に足し算で増えてゆく値、体積、分子数、エネルギーなどに対応付けるのが対数という演算だったのである。 エントロピーの定義式が「なぜ対数なのか」は、つまるところ「場合の数とは掛け算で増える」ものだからである。