前節で見たリュービルの定理「位相空間において領域の体積が一定である」ことは、実際にはどのような意味を持つのだろうか。 それは「観測者が言い当てることができる範囲の大きさは変わらない」ことを意味する。 もっとくだけていえば「知識は増えも減りもしない」ということである。 位相空間での体積とは、運動量まで含めた分子の配置について、１通り、２通りと数えていた場合の数を連続的に拡張したものである。 例えば「分子が部屋の右半分にある」という知識を何通りと数えることはできないが、位相空間上で体積幾つということはできる。 位相空間上の体積が小さいということは、考えられる選択子の幅をうんと絞った状態、つまり観測者が対象について「よく知っている」ことに相当する。

さて、先の節で「エントロピーとは、体系の持つ（分子スケールの）場合の数の対数」であることを述べた。 そして「場合の数とは、実際の空間＋仮想的な空間を合わせたような、一般的な空間の体積」だということにも触れた。 位相空間は、この「場合の数を表す一般的な空間」としてふさわしい性質を備えている。 位相空間上での体積の対数がエントロピーに一致することを、以下で確かめてみよう。 以下は、基本的には先の節で「実際の空間＋仮想的な空間」で述べたことを、位相空間という道具立ての上で説明し直したものに過ぎない。

ここでは例によって最も単純な理想気体を取り上げ、エントロピーのマクロな定義 ｄＳ ＝ ｄＱ / Ｔ が、位相空間の体積Ｗの対数をとったもの、ln Ｗ に一致することを示そう。 まず、分子数がＮ、全エネルギーＥの理想気体が位相空間上でどのような姿をしているのかを考えてみよう。 全エネルギーＥとは、各分子の運動エネルギー 1/2 mv^2 = 1/(2m) p^2 の総和だから

二乗の和が一定ということは、位相空間上で考えると半径√Ｅの球面を表していることになる。 このように運動量についてはエネルギー一定の条件が課せられているが、分子の位置については特別な制限はない。 つまり理想気体の取り得る領域とは、運動量の軸の断面で見れば多次元の球、位置の軸の断面で見れば指定範囲内の全領域（気体が収まっている容器が直方体であれば直方体の領域）となった、いわば多次元の円筒形状をしている。 気体が取り得ることのできる領域は、この円筒形状のエネルギー一定の面上、つまり円筒形状の表面を覆う殻の部分である。 この殻の部分の体積Ｗは、運動量の軸の断面から考えると３Ｎ次元の球の表面積に比例している。 理想気体が外部から熱量Ｑを受け取り、全エネルギーＥが増加した場合、この３Ｎ次元の球の半径が大きくなる。 半径が大きくなれば、表面を覆う殻の部分の体積Ｗも増加する。 エントロピーとは体系に熱を加えたときに変化するものだったので、ここからエントロピーと場合の数Ｗの関係が推し量れることになる。

多次元の球（円筒形の断面の球）のイメージから、少々強引だが

と置こう。 実際には、これに何らかの比例定数（球に関係するのでπを含んだもの）が付くはずなのだが、ここでは簡単のため比例定数を１とする。 δE は殻の厚みを表す微少量である。 上式の両辺の対数をとって これをＥで微分すると Ｅに関するものを右辺に集めて ここで ∂E/ E の意味を考えると、エントロピーの定義 dＱ / Ｔ にかなり近いものだということが分かる。 温度Ｔとは、各分子に割り振られたエネルギーの平均値を表している。 １分子あたりに割り振られたエネルギーを（天下り的だがエネルギー等分配の法則から）3/2 k T とすると、 （１自由度あたりのエネルギーは 1/2 kT、3 は x,y,z の３方向の意味） これを右辺の分母のＥと置き換える。 右辺の ∂E は体系に出入りしたエネルギーを表している。 体系の体積変化や仕事などが無ければ、∂E は体系に出入りした熱量ｄＱ に等しい。 これらによって右辺を改めて書き直すと Ｎが非常に大きければ (3N-1) / (3N) は約分できて、結局 となる。 これはエントロピーの微少変化を表しているので、両辺を積分すると となり、ボルツマンの関係式、ミクロなエントロピーの定義と一致する。

もっとも、この説明では比例定数などかなり端折っているので、ｋの値まで明らかになったわけではない。 （実はボルツマン定数ｋそのものなのであるが。） もう少し正確にｋの値まで明らかにするには、
　・エネルギーＥに対するＷの重み付け
　・多次元球の表面積
の２つの評価が必要となるだろう。 ここでは単に多次元の球面を想像することによって、エントロピーが位相空間上の領域の広さに結びついていることを確認するに留める。

位相空間という道具立てによって、我々の持つ知識のあいまいさ、選択子の幅の広さがエントロピーという物理的な指標と結びついていることが確認できた。 よく一般に、エントロピーとは「無知の度合い」などと言われることがある。 我々の持つ知識を位相空間上の幅を持った流体のようなものと見なせば、エントロピーが「無知の度合い」であるといった解釈も頷けなくはない。 ただし、この言葉を額面通りに受け止めて、エントロピーを人間の持つ知識全般に拡大解釈するのは少々飛躍があるように思う。 例えばここに、気体Ａと、同量で体積が２倍の気体Ｂがあったとして、「ＡよりもＢの方が無知の度合いが大きい」という言い方は自然だろうか。 実際に熱・統計力学を応用する場では知識、無知、といった解釈よりも、単に「体系が取り得る範囲」と捕らえた方が混乱が少ないように思う。