さて、幾分抽象的な話が続いたので、もう少し現実的な話題に戻ろう。 当初の永久機関の話題に立ち返り、ここでは「なぜ熱機関には温度差が必要なのか」の理由を探ろう。 前の節で述べた様に、熱エネルギーを利用するためには必ず温度差が必要となる。 自動車であれ、発電所であれ、当初に有していた石油やウランのエネルギーの一部だけを利用しているに過ぎない。 残りの大半は、単に空気や海水を暖めるだけに使われているのである。 考えてみると、これは何とも勿体ない話ではないか。 空気や海水を暖めている分を、利用可能な運動や電気に回すことはできないのだろうか。※ オーソドックスな熱力学では、熱機関に温度差が必要なのは経験則であり、理論構築の出発点となっている。 なので、もし出発点を帰結から逆に説明するのであれば、順序としてはおかしい。 しかし我々は一方で、分子運動の状態が取り得る確率、という別の出発点を持っている。 ここでは分子レベルの視点から、よく知られた事実を再考してみよう。

分子レベルで見たとき、エネルギーの流れる向きは
　　「閉じた系は、放っておけば最も確率の高い状態に移行する。」
という考え方によって説明できた。
体系の取り得る場合の数は（外部と特別のやりとりがなければ）決して減少することはなく、実際には増大するのが自然である。 古典力学の基本精神に立ち返ると、１つの原因は必ず１つの結果に対応する。 ということは、最初に体系が持つ場合の数がＮ通りであれば、途中でいかなる紆余曲折を経たとしても、結果もまたＮ通りになるはずだ。 （これを数理的に表現したのがリュービルの定理であった。） 実際には、体系の持つ場合の数は時間が経つにつれて増大する。 それが理屈の上で、人間の認識能力の限界によるのか、カオス的な振る舞いの結果なのかはともかくとして、場合の数が一方的に増えてゆくという事実は経験に照らして疑いようがない。

さて、ここで改めて熱と仕事の違いが何であったかを思い起こしてみよう。 両者の本質的な違いは
　　「仕事は出方がわかっているが、熱運動は全くのでたらめで出方がわからない」
ということであった。 熱とは分子運動の集まり、物体に仕事を加えた結果も運動なのだから、「運動」という点において両者は共通している。 向きや大きさが未知である運動が熱、機知であるものが仕事なのである。

以上の知識から、熱を仕事に直接（他に何の変化の跡も残さずに）変えることができない理由が明らかとなる。 未知の運動とは、取り得る場合の数が多数ある運動のことである。 機知の運動とは、取り得る場合の数がただ１通りに限定されている運動のことだ。 例えば、右に動くか左に動くか分からない状態にある運動は２通りの可能性を持つ。 一方、確実に右に動くことが分かっている運動の場合の数は１通りである。 「熱を仕事に変える」とは、つまり多数の可能性を持つ運動をただ１通りの運動に置き換える操作なのである。 これが不可能なことは、古典力学の考え方からも明らかであろう。 原因となる熱が左右２通りの可能性を持ち、結果となる仕事は唯一の状態、こんなことはありえない。 もし原因として考えられる状態が２通りだったなら、その結果として現われる状態も２通りのはずだ。 第二種永久機関とは、つまるところ２通り以上の異なる状態を何とかして１通り（ないしはもとより少ない数）の状態に還元しようとする試みだったのである。

ある体系が熱を吸収すれば、熱量に相当するエネルギーを受け取るだけでなく、熱の持っていた「場合の数」も同時に受け取ることになる。 この体系から仕事を取り出したならば、体系からエネルギーは持ち出されるが、「場合の数」は持ち出されない。 これを繰り返すと、体系の中には「場合の数」がどんどん蓄積する、つまり体系の取り得る状態数が一方的に増大することになる。 これでは体系の状態を継続的に維持することはできない。 継続的に維持しつつ仕事を取り出し続けるには、

の２つの条件を満たす必要がある。 である。
この２つの条件を見れば、熱から仕事を取り出す体系の輪郭が自ずと浮かび上がってくる。 それは、体系から場合の数を持ち出す流れが欠かせない、ということだ。 場合の数は、仕事として体系から出ては行かない。 ならば、仕事とは別のルートで体系から場合の数を廃棄する必要がある。 これが即ち廃熱なのである。 体系が取り込んだ熱の一部を仕事に変換し、残りを廃熱として場合の数の廃棄に充てるとすると、どうしても廃熱の方が最初に取り込んだ熱よりも少ないエネルギーで等量（以上）の場合の数を運ぶ必要に迫られる。 実はこれが、同じ熱量を高温から取得し、低温に廃棄しなければならない理由なのである。 というのは、同じ熱量を加えるならば、低温の方が高温よりも多く場合の数が変化するからである。

それでは定量的に、低温と高温で一体どのくらい場合の数に違いがあるのか。 この定量換算を行うには、場合の数の対数をとったものが便利である。 同じ熱量に対して、場合の数の対数をとったものの変化を比較すると、変化は温度の逆数に比例する。 つまり、低温T1と高温T2で同じ熱量Ｑを与えたとすると、場合の数の対数の変化はそれぞれ Q/T1、Q/T2 となる。 低温と高温で場合の数に差がある分だけ、つまり Q/T1 - Q/T2 だけ、熱の一部を仕事に振り向けることができる。 熱をどのくらいまで仕事に振り向けられるかは、結局のところ高温と低温の温度によって決まってしまうのだ。 高温で受け取る熱量を Q2、低温で廃棄する熱量を Q1、取り出される仕事を Wとるすと、

熱をどのくらいまで仕事に振り向けられるかは W / Q2 なので、これを求めると となる。

以上は「エントロピー」という用語を「場合の数」に置き換えて説明したものである。 既に述べてきたように、エントロピーとは「場合の数の対数をとったもの」であった。 だた、ここで「場合の数」を強調したのは、それが第二種永久機関を否定する本質的な理由となっているからに他ならない。 なぜ熱機関には温度差が必要なのか、それは、熱機関が低温への廃熱という形で場合の数を捨て去らねばならないからである。