３分で読み取る要約

命題

温度Ｔの等温条件下において、
熱量Ｑを取り込み、
不確定要素Ｓをともなう仕事Ｗを出力する系が存在したとしても、
次の要請と矛盾しない。

要請

熱力学第一法則

ΔＵ = ΔＱ - ΔＷ　　　　・・・(1)

熱力学第二法則

ΔＳ >= 0　　　　・・・(2)

ケルビンの原理

Ｗcyc <= 0　　　　・・・(3)

シャノンの定理

C = B log[2]( 1 + Signal / Noise )　　　　・・・(4)

前提

熱エントロピー = 情報エントロピー仮説

Ｓ = - k Ｉ　　　　・・・(5)

導出（命題が要請を満たすことの確認）

(4) において、Noise を白色熱雑音と見なし、B kT と置く。
十分広い帯域 B を用いた場合、通信容量 C は

C = lim[B->∞] { B log[2]( 1 + Signal / B kT ) }

ここで x = kT B / Signal と置いて、lim[B→∞] の代わりに lim[x→∞] を考えれば

上式
= ( Signal / kT ) lim[x→∞]{ x log[2] (1 + 1/x) }
= ( Signal / kT ) log[2] ( lim[x→∞] (1 + 1/x) ^ x )
= ( Signal / kT ) log[2] ( e )　　　　※自然対数 e の定義

単位時間あたり 1 bit の情報量を送るための Signal強度は

Signal = kT / log[2] ( e ) = kT ln 2　　　　※ln は自然対数 ln[e]のこと

単位時間あたり I の情報量を送るための Signal[I] の強度は、
情報量の定義を考慮して（情報量とは状態数の対数）

Signal[I] = kT・I

いま、ある系が単位時間あたり I の情報量を、Signal[I] によって出力していたとする。
このとき系は外部に対して Signal[I] だけの仕事を為すことができる。
そこで、Signal[I] を系が外部に為した仕事と見なし、次のように読み替える。

Signal[I] = ΔＷ　　　　・・・(a)

また、Signal[I] は I だけの情報量を系から出力しているので、
この情報量を (5) に従ってエントロピーと見なせば、

Signal[I] = kT・I = - T S 　　　　・・・(b)

だけのエントロピーを系の外に運ぶことができる。

このSignal[I]を発する系が、同時に外部から熱量Ｑを取得していたとしよう。

系が定常的に（内部エネルギーの変化無しに）熱力学第一法則(1)を満たすためには、

ΔＵ＝０、ΔＷ＝ΔＱ

となる必要がある。
つまり、系が外部から取得する熱量と、外部に出力する信号強度は等しくなければならない。

このとき、系が熱力学第二法則(2)を満たすことを確認しよう。
温度Ｔの等温条件下において系が吸収したエントロピーは

ΔＳin = ΔQ / T

系が信号と共に運び出せるエントロピーは、(b) より

ΔＳout = - Signal[I] / T

さらに(a)より

上式 = - ΔＷ / T

ΔＳin + ΔＳout = 0 なので、熱力学第二法則(2)の等号の場合を満たす。
（等号の場合ということは、理想的な極限においてのみ成立するということだ）

さらに、この系がケルビンの原理(3)を満たす条件を確認しよう。
系と熱浴を合わせた系全体に対してケルビンの原理(3)をあてはめれば、
系から取り出される仕事Ｗ（あるいは信号 Signal[I]）が、
系と熱浴を合わせた系全体の外部に取り出されることはあり得ない。

これは、仕事Ｗ（あるいは信号 Signal[I]）が速やかに熱浴に戻ることを意味する。




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