※ ※ コンピューターの物理的な処理速度の限界値はどれだけか？ ※ いわゆる「マーゴラス・レヴィテインの定理」の直訳です。 ※ オリジナルURL: http://people.csail.mit.edu/nhm/max-speed.pdf ※ テキスト化した関係上、数式の記号が置き換わってしまった箇所があります。 ※ 正確なところはオリジナル文献にあたってください。 ※ ------------------------------------------------------------------------ The maximum speed of dynamical evolution ダイナミックな発展の最大速度 Norman Margolus ノーマン・マーゴラス Boston University Center for Computational Science and MIT Artificial Intelligence Laboratory Lev B. Levitin レヴ・B・レヴィテイン Boston University Department of Electrical and Computer Engineering ------------------------------------------------------------------------ Abstract 要約 We discuss the problem of counting the maximum number of distinct states 我々は、離散的な状態の最大数を数える問題について議論した、 that an isolated physical system can pass through in a given period of time 孤立した物理的なシステムが、与えられた時間内に取り得る（最大数について）。 -- its maximum speed of dynamical evolution. -- つまりそれはダイナミックな発展の最大速度だ。 Previous analyses have given bounds in terms of ΔE, これまでの解析では ΔE の観点から限界値を与えていた、 the standard deviation of the energy of the system; （ΔEとは）システムのエネルギーの標準偏差（のことだ）； here we give a strict bound that depends only on E - E0, ここで我々は、ただ E - E0 のみに依存する厳格な境界値を与えよう、 the system’s average energy minus its ground state energy. （E - E0とは）システムの平均エネルギーから基底状態のエネルギーを差し引いたものだ。 We also discuss bounds on information processing rates 我々はまた、情報処理速度の限界についても議論する、 implied by our bound on the speed of dynamical evolution. それは、ダイナミックな発展の最大速度から示唆される。 For example, adding one Joule of energy to a given computer can never increase its processing rate 例えば、１ジュールのエネルギーを与えられたコンピューターに加えても、情報処理速度は決して by more than about 3 × 10^33 operations per second. １秒間に 3 × 10^33 命令処理より多くはならない。 ------------------------------------------------------------------------ 1 Introduction イントロダクション In the realm of computation, およそコンピューターというものについて、 the first two quantitative questions that one is likely to ask about a machine are まっさきに発せられる２つの問いのうち、１つ目はこんなふうになるだろう、その機械は (i) How much memory does it have? (i) どれほど多くのメモリーを有するか？ and (ii) How fast does it run? そして (ii) どれほど高速に動くのか？ In exploring the computational limits of physical dynamics, コンピューターの物理的な動力学の限界を探索する中で、 one might try to ask the same questions about an arbitrary physical system. 誰しもが、任意の物理システムについて似たような質問を発するであろう。 Question (i) essentially asks, 質問 (i) は、要するに “How many distinct states can my system be put into, 「どれほど多くの異なる離散的な状態が、私のシステムには入り得るのか、 subject to whatever physical constraints I have?” いかなる物理的な制限に従わねばならないのか？」 This is really a very old question: これは実に昔からある問い掛けだ： the correct counting of physical states is the problem 物理的な状態を正しく数え上げることは、 that led to the introduction of Planck’s constant into physics[11], プランク定数を物理に持ち込むことであり、 and is the basis of all of quantum statistical mechanics. そしてそれは、全ての量子統計力学の基礎となっている。 This question can be answered by a detailed quantum mechanical counting of distinct (mutually orthogonal) states. この質問には答えることができる、詳細な量子力学で異なる（互いに直交する）状態を数え上げることによって。 It can also be well approximated in the macroscopic limit[9,21] それはまたマクロな限界の良い近似となっている、 by simply computing the volume of phase space accessible to the system, システムがアクセス可能な位相空間の体積を単純に計算することによって、 in units where Planck’s constant is 1. プランク定数が１となるような単位で。 Question (ii) will be the focus of this paper. 質問 (ii) が本論のの主眼である。 This question can be asked with various levels of sophistication. この質問は、いろいろな教養レベルで問うことができる。 Here we will discuss a particularly simple measure of speed: ここで我々は、特に単純なスピードの測定について議論しよう： the maximum number of distinct states that the system can pass through, システムが取り得る異なる状態の最大数、 per unit of time. 単位時間あたりの。 For a classical computer, 古典的なコンピューターでは、 this would correspond to the maximum number of operations per second. これは１秒間あたりの命令処理数に対応するだろう。 For a quantum system, the notion of distinct states is well defined: 量子システムでは、異なる状態の概念は明快に定義されている： two states are distinct if they are orthogonal. ２つの状態が直交していれば、異なっている。 The connection between orthogonality and rate of information processing has previously been discussed[12,2,7,13,14,4], 直交性と情報処理速度の結びつきは、これまでにも取り上げられてきたのだが、 but no universal bound on computation rate was proposed. 普遍的な計算速度については提言されていなかった。 The minimum time needed for a quantum system to pass from one orthogonal state to another 量子システムで、ある直交状態から別の状態に移行するために必要な最短時間についても、 has also previously been characterized, これまでに定式化されてきた、 in terms of the standard deviation of the energy ΔE[10,16,20,17,5]. ΔE（エネルギーの差分）の標準偏差の観点からすれば。 This bound places no limit, however, この境界は何の限界も置かない、しかし、 on how fast a system with bounded average energy can evolve (since ΔE can be arbitrarily large with fixed E). 制限された平均エネルギーで、いかに速くシステムは発展するのだろうか （ΔEが、固定されたEに対して任意に大きくできたとして）。 Bounds based directly on the average energy E have previously been proposed[6,3], 平均エネルギーＥに直接基づいた境界は、これまでにも提言されている、 but these bounds apply to the rate of communication of bits, しかしこれらはビットの通信速度に適用できる境界である、 rather than to the rate of orthogonal evolution: 直交状態の発展の速度と言うよりは： difficulties associated with such bit-related bounds are discussed in [12]. このようなビット速度の境界における困難は [12] で議論されている。 The new bounds derived in this paper are also based on average energy, 本紙での新しい境界は、やはり平均エネルギーに基づくのだが、 but they apply to rates of orthogonal evolution. それは直交状態の発展速度に適用できる。 For an ordinary macroscopic system, these bounds are achievable: 通常のマクロなシステムで、このような境界は目標値である： we show that adding energy increases the maximum rate 我々は次のことを示す、加えたエネルギーは最大速度を増す、 at which such a system can pass through a sequence of mutually orthogonal states by a proportionate amount. そこでは、システムはちょうど見合うだけの一連の互いに直交した状態を取り得るのだ。 There has recently been much interest in the possibilities of quantum computers: この話題は最近、量子コンピューターの実現可能性とあいまって興味を増してきた： computers that can operate on superpositions of computational states[19]. 量子コンピューターは、（通常の）計算状態の重ね合わせを操作することができる。 Even isolated quantum computers will, in general, 孤立した量子コンピューターでさえ、一般的には、 pass through sequences of (nearly) mutually orthogonal states in the course of their complicated time evolutions. 一連の（ほとんど）互いに直交した状態を通過する、入り組んだ時間発展の過程を経て。 At the least, an efficient quantum computation should, for some initial states, 少なくとも、効果的な量子計算は、 ある初期状態に対して、 have a final state that is reasonably distinct from its initial state. 最終状態を取る、それは確かに初期状態とは区別される。 Thus a bound on the rate of orthogonal evolution is relevant in this case as well. かくして直交状態の発展速度の境界は、このケースにも関係がある。 ------------------------------------------------------------------------ 2 Maximum rate of dynamics 動力学の最大速度 In the energy basis, quantum time evolutions are constructed out of superpositions of frequency components. エネルギーを基準にすると、量子時間発展は波動の重ね合わせによって形成される。 One might expect from this that, このことから期待される、 given a maximum energy eigenvalue, 与えられた最大エネルギーの固有値は、 the frequency with which states can change should be bounded by 状態を変えるための周波数の境界値は ν⊥ <= Emax / h ・・・(1) If we take our zero of energy at the ground state of the system, もし我々が、システムの基底状態のエネルギーをゼロに選べば、 and consider long evolutions, then this relation is true, そして長い発展を考えれば、この関係は正しい、 as we will discuss below. 後に示すように。 We will also show that, given a fixed average energy E (rather than a fixed maximum), 我々はまた次のことを示す、与えられた固定の平均エネルギーＥ（どちらかといえば固定の最大値）で、 there is a similar bound 同様の境界値は ν⊥ <= 2E / h ・・・(2) where again we have taken our zero of energy at the ground state. ここで再び、我々はシステムの基底状態のエネルギーをゼロに選んでいる。 This equation has the following interpretation: この式には、次のような解釈がある： in appropriate units, 適当な単位系で、 the average energy of a macroscopic system is equal to the maximum number of orthogonal states マクロなシステムの平均エネルギーは、直交状態の最大数に等しい、 that the system can pass through per unit of time. システムが単位時間内に取り得る（状態数）に。 This is the maximum rate that can be sustained for a long evolution これが最大速度だ、長い発展を持続しうる、 -- the rate at which a system can oscillate between two states is twice as great. -- この速度で、システムは２つの状態間を行き来できる、それは２倍大きい。 ------------------------------------------------------------------------ 2.1 Orthogonality time 直交する時間 We begin our analysis by discussing the question 我々の解析を、次の疑問についての議論から始めることにしよう、 of the minimum time needed for any state of a given physical system to evolve into an orthogonal state. 与えられた物理的なシステムが直交状態を発展させるのに必要な最小時間はどれだけか。 An arbitrary quantum state can be written as a superposition of energy eigenstates 任意の量子状態は、エネルギーの固有状態の重ね合わせで書くことができる。 |ψ0> = Σn Cn|En> ・・・(3) Here and throughout this paper we assume that our system has a discrete spectrum, ここで、そして本紙を通じて、我々はシステムが離散的なスペクトルを持つと仮定しよう、 and that the states have been numbered so that the energy eigenvalues {En} そこでの状態は番号付けることができる、つまりエネルギーの固有値{En}といったように、 associated with the states {|En>} are non-decreasing. （その固有値は）離散的でない状態 {|En>} に関連付いている。 To simplify formulas, we will choose our zero of energy so that E0 = 0. 式を簡単にするため、我々はゼロのエネルギーを E0 = 0 と置く。 Let τ⊥ be the time it takes for |ψ0> to evolve into an orthogonal state. ここで τ⊥ を、|ψ0> がある直交状態に発展するまでの時間としよう。 We will now show that, with a fixed average energy E, it is always true that 我々は今示そう、固定された平均エネルギーＥで、以下が常に成り立つ τ⊥ >= h / 4E ・・・(4) This result is somewhat surprising, since earlier results gave a bound only in terms of ΔE この結果はある種の驚きだ、以前の結果が単に ΔE についての境界を次のように与えていたので τ⊥ >= h / 4 ΔE ・・・(5) This earlier bound would suggest that, given a fixed average energy, この以前の境界は次のことを示唆する、与えられた固定されたエネルギーで、 one could construct a state with a very large ΔE in order to achieve an arbitrarily short τ⊥. とても大きな ΔE によって、任意に短い時間 τ⊥ を達成するように、状態を構築することができる。 We will show that this is not the case. 我々が示すことには、これはあてはまらない。 Let us begin by observing that if |ψ0> is evolved for a time t it becomes |ψ0> が時間ｔ内に発展するところを観察してみよう、 |ψt> = Σn Cn exp( -i (En t / h~)) |En> ・・・(6) ここから、次式が導かれる S(t) = <ψ0|ψt> = Σ[n=0〜∞] |Cn|^2 exp( -i (En t / h~)) ・・・(7) We want to find the smallest value of t such that S(t)=0. 我々は S(t)=0 となるような最小のｔの値を見つけたい。 To do this, we note that そうするため、我々はこのようにした Re(S) = Σ[n=0〜∞] |Cn|^2 cos( En t / h~ ) >= Σ[n=0〜∞] |Cn|^2 { 1 - 2/π( En r / h~ + sin(En t / h~) ) } = 1 - (2E / π h~) t + (2 / π) Im(S), ・・・(8) where we have used the inequality cos(x) >= 1 - (2/π) (x + sin(x)), valid for x >= 0. ここで我々は不等式 cos(x) >= 1 - (2/π) (x + sin(x))、x >= 0 の範囲で有効、を利用した。 But for any value of t for which S(t) = 0, しかし S(t) = 0 となる、いかなる値 t においても、 both Re(S) = 0 and Im(S) = 0, and so Eq. Re(S) = 0 かつ Im(S) = 0 となる、それゆえに等しい。 ※ Re(s) は s の実数部分、Im(s) は s の虚数部分です。 (8) becomes (8) 式は次のようになる 0 >= 1 - 4 Et / h ・・・(9) Thus the earliest that S(t) can possibly equal zero is when t = h/4E, かくして初めに、S(t) は０に成り得る、 t = h/4E のときに、 which proves Eq. (4). これは式(4)のことだ。 Of course Eq. (8) also gives approximately the same bound もちろん式(8)もまた同様の境界を与える、 on how quickly we can have approximate orthogonality, そこでいかに速く我々が直交化できるかという、 since if |S(t)| is small, then so are Re(S) and Im(S). もし |S(t)| が小さければ、Re(S) と Im(S) についてそのように言える。 This bound is achievable if the spectrum of energies includes the energy 2E この境界は達成し得る、エネルギーのスペクトルがエネルギー２Ｅを含むのであれば (and is very nearly achievable if the spectrum includes a value very close to this, （そして非常に近くまで達成できる、スペクトルがこれに非常に近い値を含んでいれば、 as we would expect, for example, for any ordinary macroscopic system). 我々が期待するように、例えば、通常のマクロなシステムにおいては）。 In this case, we let この場合、次式が導ける |ψ0> = (|0> + |2E>) / √2 ・・・(10) which has average energy E. ここでの平均エネルギーはＥだ。 This evolves in a time t = h/4E into これは発展する、時間 t = h/4E 内で |ψt> = (|0> - |2E>) / √2 ・・・(11) which is orthogonal to |ψ0>. これは |ψ0> に直交している。 If we evolve for the same interval again, we will be back to |ψ0>: もし我々が同じ期間だけ発展させれば、再び |ψ0> に戻るだろう： the evolution oscillates between these two orthogonal states. この発展は２つの直交状態の振動だ。 For these states, ΔE = E, and so both of the bounds Eq. (4) and Eq. (5) are achieved. これらの状態では、ΔE = E であり、式(4) と 式(5) の両方の境界が達成されている。 There are also cases where Eq. (4) gives a much better bound than Eq. (5). 式(4) が式(5)の境界よりも、より良い場合もある。 Consider, for example, the state たとえば、こんな状態の例を考えてみよう |ψ0> = a (|0> + |ε>) + b (|nε> + |(n + 1)ε>) ・・・(12) which evolves into an orthogonal state in a time τ⊥ = h/2ε. これは、時間 τ⊥ = h/2ε 内で直交状態に発展する。 Given E, as long as we choose ε < 2E (i.e., τ⊥ > h/4E) 与えられたＥについて、ε < 2E（たとえば τ⊥ > h/4E) を選ぶ限り、 the average energy of the first pair of kets will be less than E. 最初のケットの組の平均エネルギーは E よりも小さくなるだろう。 Given ε, for large enough n the average energy of the second pair of kets will be greater than E. 与えられたεについて、充分大きなｎに対して、２番目のケットの組の平均エネルギーは E よりも大きくなるだろう。 Then we can always find coefficients a and b そこで我々は常に係数 a と b を見出せる、 that make the average energy of |ψ0> be E and also normalize the state. それらは |ψ0> の平均エネルギーを E にして、かつ状態を標準化する。 But this state has a ΔE that depends on our choice of n: in fact ΔE = Θ(√n). しかしこの状態での ΔE は n の選択に依存する： 実際 ΔE = Θ(√n) となっている。 With fixed E, ΔE can be as large as we like. 固定された E に対して、ΔE は望むままに大きくできる。 Thus in this case, Eq. (5) is not a useful bound and Eq. (4) is optimal. かくしてこの場合、式(5) は有用な境界ではなく、式(4) がよくあてはまる。 ------------------------------------------------------------------------ 2.2 Cycles of orthogonal states 直交状態のサイクル In the discussion above, we have seen that 上に論じたように、我々は次のことを見た a quantum system with average energy E can be made to oscillate between two orthogonal states with a frequency of 4E/h. 平均エネルギーＥの量子システムが、２つの直交状態の間を周波数 4E/h で振動することを。 Now we address the question of さて我々は次の疑問に向かおう、 how fast a quantum system can run through a long sequence of mutually orthogonal states. 量子システムは、いかに速く長い一連の互いに直交する状態を実行することができるか。 We begin by considering the very restricted set of evolutions まずは非常に制限された発展の一組から考察をはじめよう、 that pass through an exact cycle of N mutually orthogonal states at a constant rate. そこでは、正確にＮサイクルの互いに直交する状態が一定の速度で通過しているものとする。 In this case it is easy to show (see AppendixA) that この場合、簡単に次のことが示せる（付録Ａを見よ） τ⊥ >= ((N-1) / N) (h / 2E) ・・・(13) Thus for very long evolutions that form a closed cycle, かくして、閉じたサイクルからの非常に長い発展では the maximum transition rate between orthogonal states is only half as great as 直交状態間の最大遷移速度は半分の大きさとなる、 it is for an oscillation between two states. ２つの状態間の振動の。 In the next section, we will show that this long-sequence asymptotic rate is achievable 次節で示そう、長い一連の漸近的な速度は達成できる、 in principle for any ordinary macroscopic system. 原理的にいかなる通常のマクロなシステムにおいても。 Here we will first give an example of a system ここで我々はまずシステムの例を与える、 for which an exact cycle of N mutually orthogonal states (cf. [15]) achieves this bound. そこでは正確なＮサイクルの互いに直交する状態が、この境界を達成している。 The one-dimensional harmonic oscillator has an exact cycle after some period τ . １次元の調和振動子は、ある期間τの後は正確なサイクルである。 Taking our ground-state energy to be zero, 基底状態のエネルギーを０にとれば、 all of the energy eigenvalues are multiples of ε1 = h/τ. 全てのエネルギー固有値は ε1 = h/τ の倍数である。 Let そこで |ψ0> = Σ[n=0〜N-1] (1/√N) |nε1> ・・・(14) If our system passes through N mutually orthogonal states in time τ, もし我々のシステムが Ｎ個の互いに直交する状態をτ時間内に通過すれば、 then the average time to pass between consecutive orthogonal states is τ⊥ = τ/N. そこで連続した直交状態の間を通過する平均時間は τ⊥ = τ/N となる。 Noting that ε1τ⊥/h~ = 2π/N, ε1τ⊥/h~ = 2π/N に他ならないので、 we see that the state obtained from |ψ0> after m time intervals of length τ⊥ is m 回の、長さτ⊥の繰り返しの後に |ψ0> から得られた状態は |ψm> = Σ[n=0〜N-1] (1/√N) exp( -2πinm / N) |nε1> ・・・(15) and so そして <ψm'|ψm> = Σ[n=0〜N-1] (1/N) exp((2πin / N)(m'-m) = δm'm ・・・(16) Now we can calculate the relationship between E and τ⊥. ここで我々は、E と τ⊥ の関係を計算できる。 <ψ0|H|ψ0> = ε1 Σ[n=0〜N-1] n/ N = ε1 (N-1 / 2) = (h / Nτ⊥)((N-1) / 2) ・・・(17) and so そして τ⊥ = ((N-1) / N) (h / 2E) ・・・(18) Now we turn to the question of さて我々は次の質問に向かおう、 whether ordinary macroscopic physical systems can also run through long sequences of mutually orthogonal states with τ⊥ = h/2E. 通常のマクロな物理システムもまた、長い一連の互いに直交する状態を τ⊥ = h/2E で実行することができるかどうか。 We will show by construction that they can. それが可能であることを構成的に示そう。 As in the discussion above, 上に論じたように、 we will not need to use arbitrarily large eigenvalues to achieve this rate, 我々は速度を達成するために、任意の大きさの固有値を用いる必要はない、 and so our state can be written それなので、我々の状態は次のように書ける |ψ0> = Σ[n=0〜N-1] Cn|En> ・・・(19) Now we simply let ここからシンプルに次式が導かれる Cn = √{(En+1 - En) / EN}. ・・・(20) This definition of cn generalizes our example from the previous section: この Cn の定義は一般化できる、前節で示した例にも： for the special case of En = nε1, Eq. (19) reduces to Eq. (14), En = nε1 というの場合、式(19)は 式(14) に落とし込める。 which achieves τ⊥ = h/2E in the macroscopic limit. そこではマクロな限界として τ⊥ = h/2E が達成できる。 Notice also that, with this definition of cn, 注意すべきは、Cn の定義において、 states with degenerate energy eigenvalues are not repeated in our superposition 退化したエネルギー固有値の状態は、我々の重ね合わせの中では繰り返されない (they get a coefficient of zero, since the En’s are numbered in non-decreasing order). (それらの係数は０となっている、 En’が非離散的な順序で番号付けられていても)。 This definition of cn always gives normalized states, since この Cn の定義は常に正規化された状態を与える、つまり <ψ0|ψ0> = √{(En+1 - En) / EN} = 1 ・・・(21) We can calculate the average energy in the state |ψ0>. 我々は、状態|ψ0> の平均エネルギーを計算できる。 This is just これはちょうど <ψ0|H|ψ0> = Σ[n,n'] C*n' Cn En = Σ[n=0〜N-1] √{(En+1 - En) / EN} En ・・・(22) For N >> 1 and cn << 1, we can approximate this sum by an integral. Ｎが１より充分大きく、Cn が１より充分小さいとき、この合計を積分によって見積もることができる。 Letting x = n/N and ε(x) = En/EN, we have x = n/N と ε(x) = En/EN を代入して、次式を得る <ψ0|H|ψ0> = En ∫[0〜1] ε(dε/dx) dx = En / 2 ∫[0〜1] (d/dx) ε^2 dx = En / 2 ・・・(23) In Appendix B we estimate the corrections to this approximation, which vanish for large N. 付録Ｂで、この集まりについて見積もった、それは大きなＮについて消えている。 Thus, with this definition of cn, かくして、この Cn の定義を用いて、 by giving equal weight to equal energy intervals 同じ重みを同じエネルギー間隔に与えることにより、 we get an average energy that is half of the maximum energy, 我々は最大エネルギーの半分という平均エネルギーを得る、 just as in the limiting case considered in Eq. (17). ちょうど式(17)の制限された場合のように。 Now the state obtained from |ψ0> after m intervals of length τ⊥ = h/2E = h/EN is |ψm> = Σ[n] Cn exp(-2πim(En/EN)) |En> ・・・(24) and so そして <ψm'|ψm> = Σ[n,n'] C*n' Cn exp(2πi(1/EN)(m'En'-mEn)) = Σ[n=0〜N-1] {(En+1 - En) / EN} exp(2πi(En/EN) (m'-m)) ・・・(25) As we’ve seen, this is equal to 1 if m' = m. すでに見てきたように、この式は m' = m のとき１となる Let k = m'- m ≠ 0, and again let x = n/N and ε(x) = En/EN. k = m'- m ≠ 0 を代入、そして再び x = n/N と ε(x) = En/EN を代入する。 Then すると <ψm'|ψm> = ∫[0〜1] (dε/dx) exp(2πikε)dx = ∫[0〜1] { (d/dx) exp(2πikε) / 2πik } dx = 0 ・・・(26) A more careful analysis (see AppendixB) verifies より注意深い解析（付録Bを見よ）で確認している、 that the corrections to this approximate calculation vanish for large N. この見積もりの集まりの計算が、大きいNに対して消えることを。 Thus we can run through a long sequence of nearly orthogonal states at the rate ν⊥ = 2E/h = Emax/h. かくして我々は、長い一連のほぼ直交する状態を速度 ν⊥ = 2E/h = Emax/h で実行できるのである。 ------------------------------------------------------------------------ 3 Interpretation 解釈 For an isolated macroscopic system s with average energy E^(s), 平均エネルギー E^(s) の、孤立したマクロなシステム s に対して、 we have seen that we can construct a state that evolves at a rate ν⊥^(s) = 2E^(s)/h. 発展速度が ν⊥^(s) = 2E^(s)/h であるような状態を構築できるということを我々は見てきた。 If we had many non-interacting macroscopic subsystems, もし我々が、相互作用の無いマクロなサブシステムを有していたら、 we would have an average energy for the combined system of Etot = Σ[s] E^(s). 合わせたシステムの平均エネルギーは Etot = Σ[s] E^(s) となるだろう。 Our construction of the previous section applies prefectly well to such a composite system, 前節で構築したものには、このように組み合わせたシステムが完全に適用される、 and in particular lets us construct a state for this combination of non-interacting subsystems そして特に、この組み合わさった相互作用のないサブシステムに対して、状態を構築してみよう、 that evolves at a rate of ν⊥ = 2Etot/h = Σ[s] 2E^(s)/h = Σ[s]ν⊥^(s) . （そのサブシステムは）ν⊥ = 2Etot/h = Σ[s] 2E^(s)/h = Σ[s]ν⊥^(s) という速度で発展する。 Thus if we subdivide our total energy between separate subsystems, かくして、もし全体のエネルギーをサブシステムに分割すれば、 the maximum number of orthogonal states per unit time for the combined system is 組み合わさったシステムにおける単位時間あたりの直交状態の最大数は just the sum of the maximum number for each subsystem taken separately. ちょうど各々のサブシステムが取る最大数の合計となっている。 This is analogous to the case in a parallel computer, これは並列コンピューターの場合の比喩となっている、 where the total number of operations per second for the whole machine is そこでは、マシン全体での１秒間の全操作数は just the sum of the number of operations per second performed by the various pieces. ちょうどそれぞれの断片が１秒間に実行する操作数の合計となっている。 Our result should be interpreted in a similar manner: 我々の結論も同様の方法で解釈される： average energy tells us the maximum possible rate at which distinct changes can occur in our system. 平均エネルギーは、我々可能な最大速度を教える、そこでは異なる変化がシステム内で起こり得る。 It is interesting to ask 次のことを問うのは興味深い、 how this connection between energy and maximum possible number of changes looks in a semi-classical limit. このエネルギーと、可能な変化の最大数の結びつきは、半古典的な限界の中にどのように表れるのか。 As a simple example, let us consider a single-speed lattice gas[8]. 簡単な例で、単一速度の格子ガスを考えてみよう。 This is a classical gas model in which identical particles are distributed on a regular lattice. これは古典的な気体のモデルである、そこでは個々の粒子は規則的な格子上に分配されている。 Each particle moves from one lattice site to an adjacent site in time δT. 個々の粒子は１つの格子の目から、隣接した目に δT の時間内に移動する。 At the end of each δT interval, all energy is kinetic, and all particles have the same energy δE. δT の期間の最後には、全てのエネルギーは運動となり、全ての粒子は同じエネルギー δE を持つ。 Thus if the total energy is E, then E/δE is equal to the number of particles, そしてもし全エネルギーが E ならば、E/δE は粒子の数に等しく、 and so the maximum number of spots that can change per unit of time is equal to 2E/δE: であるから、単位時間内に変化し得る点の最大数は 2E/δE に等しい： E/δE spots can be vacated, and E/δE new spots occupied. E/δE の点は空になることができ、そして E/δE の新しい点が占有する。 Fewer spots will change if some particles move to spots that were previously occupied, 少しだけの点が変化する、もし幾つかの粒子が以前に占められていた点に移動するのであれば、 but we can never have more than 2E/δE changes in time δT. しかし、決して 2E/δE より多くの変化が時間 δT 内に起こることはない。 Thus if we impose the constraint on this lattice system that δEδT >= h, それゆえ、もし我々が格子システムの上で δEδT >= h という制限をあてはめるなら、 our bound on the rate at which spots can change becomes νchange <= 2E/δEδT <= 2E/h. 変化する点での速度の境界は、νchange <= 2E/δEδT <= 2E/h となる。 It is also interesting to ask 次の問い掛けもまた興味深い、 how this connection between energy and orthogonal evolution looks in different inertial reference frames. エネルギーと直交状態の発展の結びつきは、異なった慣性座標系からどのように見えるのか。 Clearly we will see some orthogonal states that are purely an artifact of our choice of reference frame. 明らかに、いくつかの直交状態は純粋に我々の選んだ座標系の人工物であるように見える。 For example, an isolated stationary atom in an exact energy eigenstate never transitions to an orthogonal state, 例えば、正確にエネルギー固有状態にある孤立して静止した原子は、決して直交状態に移行しない、 but if we view this same atom from a moving frame we will see a sequence of distinct position states. しかし、この同じ原子を動いている座標系から見れば、一連の異なる位置の状態が見れるだろう。 If we are interested in a bound on “useful” dynamics (e.g., on computation), もし（例えば計算などで）「役に立つ」動力学の境界に興味があるならば、 then we shouldn’t count extra states that arise just from the state of motion of the observer. そこで我々は、観測者の運動によって生じる特別な状態をカウントすべきではない。 The obvious solution is to define the amount of “useful” dynamics 明らかな解決方法は、「役に立つ」動力学の総量の定義を次のようにすることだ、 to be the number of orthogonal states that the system passes through in its rest frame (center of momentum frame). システムが、その残りの座標系（動いている系の中心）を通過する直交状態の数によって。 As long as our non-relativistic analysis is valid in the rest frame, 非相対的な解析が残りの系で有効である限り、 we can infer that (in that frame) a system with total relativistic energy Er cannot pass through 次のように推察される、（その座標系では）全部の相対的なエネルギー Er のシステムは、 more than 2 Er tr/ h different orthogonal states in time tr. 2 Er tr/ h より多くの異なる直交状態を時間 tr 内で通過することはできない。 Then in any frame, we can compute this bound on “useful” evolution, since Er tr = pμ x^μ. そこでいかなる座標系においても、我々はこの「役に立つ」発展の境界を計算することができる、Er tr = pμ x^μ なので。 In a frame in which the system starts at the origin at time t = 0 and moves in the positive x direction with a momentum of magnitude p, ある座標系、そこでシステムは時刻 t = 0 からスタートし、運動量の大きさｐで正のｘ方向に移動している、 our bound is (2/h)(Et - px): そこでの境界は (2/h)(Et - px) である： from the time component of the bound we subtract a space component. 境界の時間の要素から、我々は空間の要素を差し引いている。 Note that we subtract one orthogonal state for each shift of a distance h/2p (cf. [5,22]). 我々が距離 h/2p の個々のずれに対して、１つの直交状態を差し引いている、ということに注意せよ。 ------------------------------------------------------------------------ 4 Conclusion 結論 The average energy E (above the ground state) of an isolated physical system tells us directly 孤立した物理システムの（基底状態の上の）平均エネルギー E は、我々に直接次のことを語っている、 the maximum number of mutually orthogonal states that the system can pass through per unit of time. システムが単位時間内に取り得る、互いに直交する状態の最大数について。 Thus if the system is a computer, つまり、もしシステムがコンピューターであれば、 this quantity is a simple physical measure of its maximum possible processing rate. この量はシンプルに、実現可能な最大処理速度の物理的ものさしである。 Equivalently we can say that Et counts orthogonal states in time. 同様に、Et は時間内の直交状態を数えるのだと言える。 Just as accessible phase-space volume tells us the number of distinct states ちょうどアクセス可能な位相空間の体積が、我々に異なる状態の数を告げるように、 that a macroscopic physical system can be put into, その状態数とはマクロな物理システムが取り得る数のことなのだが、 Et “action volume” tells us the number of distinct states Et の「可動体積」は、我々に異なる状態の数を告げる、 that a system with energy E can pass through in time t. その状態数とはエネルギーEのシステムが時間ｔ内に取り得る数のことだ。 ------------------------------------------------------------------------ Acknowledgments 謝辞 (* 省略 *) A: Minimum orthogonality time for exact cycles 付録A： 正確なサイクルにおける最小の直交時間 (* 省略 *) B: Approximating sums 付録B: 合計の見積り (* 省略 *) ------------------------------------------------------------------------