※ ※ ドイチュの多世界宇宙についての論文を直訳したものです。 ※ まともな訳というより、単語の意味を並べて書いたメモといった方が正しいかも。 ※ テキストに落とす関係上、式の記号が欠落していますし、図も抜けています。 ※ なので、正確にはオリジナル論文と照らし合わせて見てください。 ※ オリジナルの論文は、 ※ http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0104033 ※ にあります。 ※ =============================================================================== The Structure of the Multiverse 多世界宇宙の構造 David Deutsch デイヴィッド・ドイチュ Centre for Quantum Computation The Clarendon Laboratory University of Oxford, Oxford OX1 3PU, UK April 2001 Keywords: キーワード multiverse, 多世界宇宙 parallel universes, 並列宇宙 quantum information, 量子情報 quantum computation, 量子コンピューター Heisenberg picture. ハイゼンベルグ描像 The structure of the multiverse is determined by information flow. 多世界宇宙の構造は情報の流れによって形作られている。 ------------------------------------------------------------------------------- 1. Introduction イントロダクション The idea that quantum theory is a true description of physical reality led Everett (1957) 量子論は物理的な実在を真に記述したものであるというアイデアは、 and many subsequent investigators (e.g. DeWitt and Graham 1973, Deutsch 1985, 1997) エベレットやそれに続く研究者たちが、 to explain quantum-mechanical phenomena 量子機構的な現象を説明するために導き出された、 in terms of the simultaneous existence of parallel universes or histories. 並列宇宙や歴史が同時に実在するという観点から。 Similarly I and others have explained the power of quantum computation in terms of‘quantum parallelism’ 同じように、私たちは量子コンピューティングを「量子並列性」の観点から説明してきた。 (many classical computations occurring in parallel). （そこでは多くの古典的計算が並列に起こっている）。 However, if reality -- which in this context is called the multiverse -- しかしながら、もし実在 -- それは多世界宇宙と呼ばれる意味においての -- is indeed literally quantum-mechanical, が実際に文字通り量子機構であるならば、 then it must have a great deal more structure それは実に多くの構造を有しているはずだ、 than merely a collection of entities each resembling the universe of classical physics. 単に古典的物理の宇宙と似た要素を集めたより以上の。 For one thing, elements of such a collection would indeed be‘parallel’: ひとつには、そのような要素の集まりが実際に「並列」なのだとしたら、 they would have no effect on each other, それらはお互いに何の影響も及ぼさないだろう、 and would therefore not exhibit quantum interference. それゆえ量子干渉を示さないだろう。 For another, a ‘universe’ is a global construct -- 言い換えれば、宇宙とは全体的な構造物であり -- say, the whole of space and its contents at a given time -- それは、あるとき与えられた全空間とそこに含まれる中身 -- but since quantum interactions are local, しかし量子干渉は局所的である、 it must in the first instance be local physical systems, それは最初の事象において局所的な物理システム、 such as qubits, measuring instruments and observers, たとえばＱ−Ｂｉｔ、測定機器と観測者、 that are split into multiple copies, それらは多数のコピーに分裂する、 and this multiplicity must propagate across the multiverse at subluminal speeds. そしてこの多世界性は多世界宇宙にまたがって生まれる速度で増殖する。 And for another, the Hilbert space structure of quantum states provides そしてまた、量子状態のヒルベルト空間構造は an infinity of ways of slicing up the multiverse into ‘universes’, 無限の状態である多世界の薄切りを「宇宙」に提供している、 each way corresponding to a choice of basis. （そこで）個々の状態は１つの選択基準へと対応している。 This is reminiscent of the infinity of ways in which one can slice (‘foliate’) a このことは思い起こさせる、 spacetime into spacelike hypersurfaces in the general theory of relativity. 一般相対性理論における時空の超曲面が１枚１枚（葉のように広がった）無数の状態を。 Given such a foliation, the theory partitions physical quantities そのような葉状構造が与えられたとすると、理論的は物理量に分割される、 into those ‘within’ each of the hypersurfaces それぞれの超曲面の中に「埋め込んだ」ものへ、 and those that relate hypersurfaces to each other. そして超曲面同士がお互いに関連付いたものへと。 In this paper I shall sketch a somewhat analogous theory for a model of the multiverse. この論文で、私は多世界宇宙について、何らかの比喩的な理論を描くであろう。 The quantum theory of computation is useful in this investigation because, コンピューターの量子論は、この研究に有用である、なぜなら、 as we shall see, the structure of the multiverse is determined by information flow, 我々が見てゆくように、多世界宇宙の構造は情報の流れによって決定される、 and the universality of computation ensures that by studying quantum computational networks そして計算の普遍性は、量子コンピューターネットワークを研究することによって確かめられる it is possible to obtain results about information flow 情報の流れについての結果を得ることが可能となる、 that must also hold for quantum systems in general. それはまた、一般的に量子システムを内包しているはずだ。 This approach was used by Deutsch and Hayden (2000) このアプローチはドイチュとハイデンによって用いられた to analyse information flow in the presence of entanglement. エンタグルメント（もつれ合い）の存在下における情報の流れの解析に。 In that analysis, その解析の中で、 as in this one, no quantitative definition of information is required; ここと同じように、情報の定量的な定義は全く要求されなかった、 the following two qualitative properties suffice: 以下の２つの定性的な性質で充分だ： ・ Property 1: 性質１： A physical system S contains information about a parameter b 物理的なシステムＳは、パラメータｂについての情報を含む、 if (though not necessarily only if) もし（必ずしも必須ではなく、単にもし） the probability of some outcome of some measurement on S alone depends on b. Ｓを観測した何らかの出力の確率が、ただｂのみに依存する場合。 ・ Property 2: 性質２： A physical system S contains no information about b 物理的なシステムＳは、パラメータｂについての情報を含まない、 if (and for present purposes we need not take a position about‘only if’) もし（現在の目的のために、我々は「単にもし」という立場をとる必要がない） there exists a complete description of S that is independent of b. ｂとは無関係なＳについての完全な記述が存在した場合。 I shall assume that an entity S qualifies as a‘physical system’ 私は仮定する、Ｓの実在は「物理的なシステム」としての資格が与えられる、 if (but not necessarily only if) it is possible to store information in S and later to retrieve it. もし（必ずしも必須ではなく、単にもし）それがＳ内の情報を保持し、後で回収することができるならば。 That is to say, it must be possible to cause S to satisfy the condition of Property 1 それはつまり、Ｓが性質１：の条件を満たすことから導かれる帰結である、 for containing information about some parameter b. 何らかのパラメータｂについての情報を有しているという。 It is implicit in this, and in Properties 1 and 2, この中には暗黙のうちに、そして性質１，２の中に、 that b must be capable of taking more than one possible value, ｂは１つの可能な値より多くを取り得なければならず、 so there must exist some suitable sense 適切な意味で存在しなければならない、 in which if S contained different information it would still be the same physical system. そこではＳは異なる情報を、同一の物理的なシステムの内に。 This condition raises interesting questions about the counterfactual nature of information この条件は興味深い疑問を浮かび上がらせる、事実に反する情報の本質を、 which it will not be necessary to address here. それ（情報）は必ずしもここに指し示す必要はない。 It is also necessary that S be identifiable as the same system over time. また、Ｓが時間を超えて同一のシステムであると識別される必要もない。 This is particularly straightforward if S is causally autonomous これはとりわけ率直だ、もしＳが因果として自律しているならば、 -- that is to say, if its evolution depends on nothing outside itself. つまり、もしその時間発展がそれ自身以外の何物にも依存しないのならば。 ------------------------------------------------------------------------------- 2. Classical computers 古典的コンピューター Consider a classical reversible computational network containing N bits B1...BN . N個のビット、B1〜BNを含む、古典的な可逆コンピューターネットワークを考えてみよう。 A specification of the values b1(t), ... ,bN(t) of the bits just after the t’th computational step ちょうどｔステップ後の、b1(t)〜 bN(t) ビット値の動きは constitutes a complete description of the computational state of the network at that instant. このネットワークの計算状態の完全な記述を構成している。 Given the structure of the network (its gates, and how the carriers of the bits move between them), あるネットワークの構造が与えられたとしよう、（ゲートや、ビットの運び手がどのように動くのかについて）、 this also determines the computational state just after every other computational step. それはまた他の全ての計算ステップ直後の状態を決定する。 We are not interested in the network’s state during computational steps, 我々は計算ステップ中のネットワーク状態にも、 nor in its non-computational degrees of freedom, 計算以外の自由度にも興味がない、 because we know that the computational degrees of freedom なぜなら我々は知っているからだ、 at integer values of t form a causally autonomous system, オートマトンシステムから導かれた整数値ｔの計算の自由度を、 and it is that system which we shall regard as faithfully modelling, そしてそれは、正確なモデリングだと我々が見なすシステム、 with some finite but arbitrarily high degree of accuracy, 有限ではあるが任意に高度な精度を持った、 the flow of information in a classical system or classical universe. 古典的なシステムあるいは古典的な宇宙の情報の流れであるからだ。 Information flow in the network is local in the sense ある意味においてネットワーク内の情報の流れは局所的である、 that if some information is confined to a set of bits C at time t, それは、もし何らかの情報が時刻ｔにおけるビットの組Ｃによって制限されるなら、 then at time t + 1 that information is confined to bits 時刻ｔ＋１においてその情報はビットの組によって制限される、 that have passed through the same gate as some member of C during the (t +1)‘th computational step. （ｔ＋１）段目の計算ステップでどこかのＣの一部と同じゲートを通過したそのビットの組によって。 In particular, if a network consists of two or more subnetworks that are disconnected for a period, 特に、ネットワークが、一定期間つながっていない２つ以上のサブネットワークから成っていた場合、 then information cannot flow from one of those sub-networks to another during that period. 情報はその期間中、一方のサブネットワークから他方のサブネットワークに流れることはできない。 Where a system S has local dynamics システムＳが局所ダイナミクスを有しているところで、 -- for instance, if it is a field governed by a differential equation of motion -- つまり、それが運動の微分方程式に従う場だったなら、 and we want to draw conclusions about information flow in S by studying networks そして我々は結果を導き出したい、Ｓ内の情報の流れについて、ネットワークの研究によって that model S to some degree of approximation, we must consider only models with モデルＳを適度に近似して、我々はただある性質を持ったモデルを考えるべきだろう、 the property that local regions of S correspond to local (in the above sense) regions of the network. Ｓの局所領域がネットワークの（上述の意味において）局所領域に対応しているという性質を。 If we were to construct such a network in the laboratory, もし我々がこのようなネットワークを実験室で構築したなら、 then each of the 2^N possible bit-sequences b1,...,bN would specify ２のＮ乗だけの値を取り得るビット列 b1,〜,bN は a physically and computationally different state of the network. 物理的にも計算上も異なるネットワークの状態を決定するであろう。 But if reality consisted of such a network, しかし、もし実在がこのようなネットワークから成り立っているとしたら、 that would not necessarily be so, それは必ずしもそうはならないが、 because there would then be no external labels, なぜなら外部への識別子が全く無いだろうから、 such as spatial location, このような空間的配置には、 to distinguish one bit from another. あるビットを他のビットと区別するための。 So, for instance, if the network consisted of two disjoint sub-networks with identical structures, たとえば、ネットワークが２つの結合していないはっきり区別できるサブネットワークから成るとして、 containing bits B1,...,B[N/2] and B[N/2+1],...,BN respectively, それぞれが B1〜B[N/2] ビットと、B[N/2+1]〜BN を含んでいたとして、 then any two bit-sequences of the form β1,...,βN and β[N/2+1],...,βN ,β1,...,β[N/2] ２つのビット列 β1〜βN と β[N/2+1]〜βN ,β1〜β[N/2] は would refer to the same physical state. 全く同じ物理的状態と見なされるだろう。 The same applies when we are considering a hypothetical network 同じ事があてはまる、我々が仮想的なネットワークを考えているとき、 that models information flow in reality as a whole: 実在する情報の流れが全てであるようにモデル化されている： if the structure of such network is invariant under some permutation Π of its bits, そのようなネットワークの構造が、ビットの何らかの順列 Π に対して不変であるならば、 then any two bit-sequences that are related by Π refer to the same state of reality. Π に関係した任意の２つのビット列は同一の実在する状態を指し示すだろう。 Let us refer to a bit-sequence b1(t) ,..., bN(t) collectively as b(t) ビット列 b1(t) 〜 bN(t) をまとめて b(t) としよう。 (which can be thought of as the binary number （それは２進数として考えることができる 2^N-1 bN(t) + ... + 2 b2(t) + b1(t) ∈ Z[2^N] ). ２進数を上の桁から下の桁まで足したものは、自然数[2^N]に含まれる） During each computational step, the values of the bits in the network change according to 個々の計算ステップの間、ネットワークのビットの値の変化は次式に従う b(t +1) = ft(b(t)), ・・・(1) where each ft is some invertible function from Z[2^N] to itself, ここで ｆt は Z[2^N] からそれ自身への何らかの可逆な関数であり、 which characterises the action of all the gates through which その関数は全てのゲートを特徴付ける、 the bits pass during the (t+1)’th computational step. ビットは(t+1)段目の計算ステップの間に、そのゲートを通過する。 [* ここに図１が入る *] Fig. 1: History of a classical computation The course of such a computation with initial state b(0) = b is shown schematically in Fig. 1. このようなコンピューターが初期状態 b(0) = b からたどるコースを、図１に示した。 The parts of the graph in the shaded regions (i.e. during computational steps), グラフの影の部分（計算ステップの間のこと）と and the non-integer values of b, have no significance except to indicate 整数ではないｂの値は、次のこと以外の意味を持たない、 that the motion of a real computer would interpolate smoothly between computational states. 実在のコンピューターの動きは、計算状態の間にスムースに入り込んでいるいうこと。 ------------------------------------------------------------------------------- 3. Ensembles of classical computers 古典的コンピュータの集合 Consider a collection of M classical networks of the kind described in Section 2, 第２章で述べたような古典的ネットワークＭの集まりを考えてみよう、 all with the same structure in terms of gates, 全てのゲートは同じ構造を持つのだが、 but not necessarily all starting in the same initial state. 必ずしも同じ初期状態からスタートしないような。 One way of describing such a collection is as a single network このような集まりを記述する１つの方法は、 consisting of M disconnected sub-networks. １つのネットワークをＭ個の複数のサブネットワークから成っていると見なすことだ。 The network has NM bits B1...BNM , このネットワークは N x M個 のビット B1〜BNM から成っている、 where B1...BN belong to the ‘first’ sub-network, そこで B1〜BN は「最初の」サブネットワークに属し、 B[N+1]〜B[2N] to the ‘second’, and so on. B[N+1]〜B[2N] は「２番目」のネットワークに属し、そのように続く。 But since the structure of the network is invariant under any permutation of the sub-networks, しかしネットワークの構造がサブネットワークの順列入れ替えに対して不変であるならば、 we must regard any pair of bit-sequences of length NM that are related by such a permutation 我々は、順列入れ替えに関係する長さ N x M のどのビット列の組についても見なさねばならない、 as referring to physically identical states. 物理的な１つの状態を指し示しているのだと。 In other words, when such sub-networks are in identical states, they are fungible. 言い換えれば、このようなサブネットワークが個々に識別できるとき、それらは交換可能である。 The term is borrowed from law, where it refers to objects, 法律の用語を借りてくれば、ある物体が指し示されているところ、 such as banknotes, that are deemed identical for the purpose of meeting legal obligations. 紙幣のように、法的な義務に見合った目的のために識別できるのだと思われる。 In physics we may define entities as fungible 物理において我々は実体を互換なものと定義できるだろう、 if they are not merely deemed identical but are identical, それらの実体が単に識別可能と思えるだけでなく、識別可能であるならば、 in the sense that although they can be present in a physical system in varying numbers or amounts, この意味において、たとえそれらの実体が可変な数量の物理システム内に存在し得たとしても、 permuting them does not change the physical state of that system. それらの実体の交換はシステムの物理的な状態を変えはしない。 Fungibility is not new to physics. 交換性は物理にとって新規ではない。 Many physical entities, such as amounts of energy, 多くの物理的実在、たとえば一定量のエネルギーなどは are fungible even in classical physics: 古典物理においてさえ互換である： one can add a Joule of energy to a physical system, 誰もが１ジュールのエネルギーを物理システムに加えることはできるが、 but one cannot later extract the same Joule. しかし誰も後から同一のジュールを取り出すことはできない。 In quantum physics some material objects -- bosons -- are fungible too: 量子物理学において、ある種の物体 -- ボソン -- はまた互換である： it makes sense to ask how many identical photons there are in a cavity, 空洞の中に幾つの識別可能な光子が入っているかと問うのは理にかなっている、 and it makes sense to add one more of the same kind and then to remove one, そして同じものを加えたり、取り除いたりすることも利にかなっている、 but it does not make sense to ask whether the photon that has been removed is しかし、どちらの光子が取り除かれたとか、 or is not the photon that was previously added どちらの光子が以前に加わったかと問うのは意味がない。 (unless there was exactly one photon of that kind present). (ただし正確に１個の光子が在った場合を除いて） Hence an alternative way of describing our NM-bit network is as a multiset of M networks, それ故に NxM-ビットネットワークを記述するいま１つの方法は、複数の組の Ｍネットワークだ、 each with N bits. それぞれがＮビットから成る。 A multiset is like a set except that some of its elements are fungible. 複数の組は、その中の要素が互換であるものを除いた組に似ている。 Each element is associated with an integer, its multiplicity, 個々の要素は１つの整数と結びついている、その多重性によって、 which specifies how many instances of it appear in the multiset. それは、複数の組の中に幾つの場合が出現するかを規定する。 In the present case, 先の例で言うと、 if μ[b](t) is the number of sub-networks that are in the state b ∈ Z[2^N] at time t , μ[b](t) を、時刻ｔにおける状態ｂ（2^N個の自然数に含まれる）に属するサブネットワークの数とすれば、 then the state of the network at time t is completely specified by the 2^N multiplicities {μ[b](t)}. 時刻ｔにおけるネットワークの状態は、完全に２のＮ乗の多重性 {μ[b](t)} によって規定される。 Their equation of motion is それらの動きを式で表すと μ[b](t +1) = μ[f[t^-1](b)](t). ・・・(2) An ensemble is a limiting case of a multiset ある集合体は多数の組の制限されている場合だ、 where the total number of elements M goes to infinity そこでは要素Ｍの全部の数が無限に向かうが、 but all the proportions μ[b](t)/M tend to definite limits. 全ての μ[b](t)/M という割合は有限の極限値に向かう。 Considered as a function of b, ｂの関数について考えれば、 lim[M->∞](μ[b](t) / M) is the distribution function for the ensemble at time t. Ｍが無限に大きくなったときの(μ[b](t) / M)の極限値は、時刻ｔにおける集合体の分布関数となる。 Henceforth in this paper I shall use the term ‘ensemble’ for both ensembles and multisets, 本文ではこれ以降、私が「集合体」と言ってきたことは集合体であり多数の組のことである、 and the term ‘multiplicity’ to denote both discrete multiplicities and realvalued proportions. そして「多重性」と言ってきたことは離散的な多重性であり実数値の比率でもある。 [* ここに図２が入る *] Fig. 2: History of an ensemble of reversible classical computations Fig. 2 illustrates schematically a computation being performed by an ensemble of twelve computers. 図２に、１２台のコンピューターの集合体が稼働している計算過程を示した。 Four of them are performing the same computation as the computer referred to by Fig. 1, そのうち４台は、図１で示されたコンピューターと同様の計算を行っている、 with input β. βという入力値に対して。 Three other computations are being performed in parallel with that one. 他の３台は、その１台と平行して計算を実行している。 They have inputs α, γ and δ, and are being performed by two, それらには α, γ, δ という入力があり、それぞれ２台、 one and five of the computers respectively. １台、５台 のコンピューターが動いている。 I shall refer to a non-empty sub-ensemble in which all the computers are 私は空ではない部分集合体に注意を向けようと思う、そこでは全てのコンピューターが in the same state as a branch of the ensemble -- so for instance, 集合体の分岐の１つとして同一の状態にある -- これまでのところで言えば、 the ensemble in Fig. 2 has four branches throughout the computation. 図２の集合体は計算過程を通じて４つの分岐を有している。 Note the following elementary properties of branches under reversible classical physics. 可逆な古典物理における、次のような分岐の基本的な性質を書き留めておこう。 First, the total number of branches is conserved: 第１に、全部の分岐の数は保存される： they cannot split, join, come into existence or be destroyed. それらは分岐したり、合流したり、無から有が生まれたり消滅したりしない。 Second, the multiplicity of each branch is conserved. 第２に、各々の分岐の多重度は保存する。 And third, none of the branches affect each other; 第３に、どの分岐もお互いに干渉しない： that is to say, the behaviour of each branch is determined by its own initial state and f, 言うなれば、各々の分岐のふるまいは初期条件と関数ｆによって決定されている、 and is therefore independent of how many other branches are present それゆえ、他にどれほどの分岐があって、 and what their states and multiplicities are. それらがどんな状態で、どれほどの多重度があっても関係ない。 These properties give each branch a well-defined identity over time, これらの性質は個々の分岐に、全時間に渡ってはっきりした区別をもたらす、 even though the values of its bits change. たとえ各々のビット値が変わったとしても。 There are such things as fungible processes as well as fungible objects. こうしたことは、交換可能なプロセスとしてだけでなく、交換可能な物体としても存在する。 Because each of the computations takes place within a particular branch over time, 個々の計算は全時間に渡って特定の分岐の中で行われるので、 and the whole ensemble over time is invariant under permutations of the computations within a branch, そして全ての集合体は、分岐の中の計算の順列入れ替えに対して不変なので、 those computations are themselves fungible. それらの計算はそれ自身で交換可能である。 In this representation of our network as an ensemble E, 我々のネットワーク表現、集合体Ｅの中で、 the equation of motion (2) specifies how the multiplicity of a fixed bit-sequence b changes with time. 運動方程式(2)は、固定ビット列ｂの多重度がどだけ時間内に変化するかを規定する。 This is not well suited to the analysis of information flow because, これは、情報の流れの解析にあまり適さない、なぜなら、 as illustrated in Fig. 2, the information in E flows entirely in branches 図２に示したように、Ｅの中の情報の流れは完全に分岐内にある、 which are characterised by constant multiplicities and time-varying bit-sequences. その分岐は定常的な多重度と時間依存するビット列によって特徴付けられる。 It is possible to make this manifest by using an alternative representation さらにもう１の古典的可逆システムの集合体の表現を用いて of an ensemble of classical reversible systems ここでの目標を示すことができる、 that bears the same relationship to the standard one as the Heisenberg picture does そのシステムは、ちょうど量子論におけるハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像 to the Schrodinger picture in quantum theory. の関係と同様のものを有している。 To motivate the representation, この表現を意味づけるために、 consider first a list ^b(0) of the computational states of all the branches 全ての分岐の計算状態のリスト ^b(0) を最初に考えてみよう、 in the ensemble at time zero, in any order. 時刻０における集合体で、どの順序においても。 For example, ^b(0) for the ensemble of Fig. 2 could be (α,β,γ,δ) . 例えば、図２の集合体の ^b(0) は (α,β,γ,δ) と成り得る。 It will turn out to be convenient to consider such lists to be vectors, このリストをベクトルとして考えるのが扱いやすいということがやがて分かるだろう、 with an algebra that I shall define below, 以下で私が定義しようとする代数によって、 and I shall call such vectors e-numbers by analogy with the terms ‘q-number’ for quantum operators そして私はそのようなベクトルを「ｅ-ナンバー」と呼ぼう、量子演算子の「ｑ-ナンバー」、 and ‘c-number’for scalars. スカラーの「ｃ-ナンバー」に似せて。 For each t > 0, define the e-number ^b(t) as a similar list, or vector, 各々のｔ＞０において、ｅ-ナンバー ^b(t) を、同様のリスト、又はベクトルと定義しよう、 of the states of all the branches at time t, 時刻ｔにおける全ての分岐の状態の、 with the branches appearing in the same order as they do in ^b(0). 分岐が ^b(0) で行ったのと同じ順番で現れたものとして。 So in the Fig. 2 case, ^b(1) = (f0(α), f0(β), f0(γ), f0(δ)), and so on. 図２の場合だと、^b(1) は (f0(α), f0(β), f0(γ), f0(δ)) であり、以下同様だ。 Thus each component of ^b(t) , as t varies, かくして ^b(t) の個々の部品は、ｔの変化にともなう、 is the evolving state of one particular branch of the ensemble. 集合体の、ある特定の分岐の発展状態である。 Since the multiplicities of branches are constant, 分岐の多重度は一定なのだから、 we can list them as a single, constant e-number ^μ = (μα(0),μβ(0),μγ(0),μδ(0)). 我々は、それらを１つの ｅ-ナンバー ^μ = (μα(0),μβ(0),μγ(0),μδ(0)) として並べることができる。 The quantities ^μ and ^b(t) together contain the same information as the {μb(t)}, ^μ と ^b(t) の量はどちらも同じ {μb(t)} としての情報を含むので、 and therefore amount to a complete description of the state of the ensemble at time t. それゆえ、時刻ｔにおける集合体の完全な記述となっている。 In general, e-numbers for an ensemble of N-bit reversible classical networks may be defined as follows. 大まかにいって、Ｎビット可逆古典ネットワークの集合体についてのｅ-ナンバーは、次のように定義されるだろう。 They are elements of a 2N -dimensional vector space V. それは、２Ｎ次元ベクトル空間Ｖの要素であると。 (Lower-Dimensional dimensional representations are sometimes possible, as in the example above.) （より低次元で表現できることもある、上の例のように。） We can express ^b(t), or any other e-number, in terms of an orthonormal basis {^Pb(t) } 我々は ^b(t) を、あるいは他のｅ-ナンバーを、{^Pb(t) } の正規直交基底として表すことができる、 ^b(t) = Σ[b] b Pb(t). ・・・(3) A straightforward representation for ^Pb(0) would be a list of length 2^N , ^Pb(0) の素直な表現は長さ２のＮ乗の、 whose (b +1)‘th element was 1, with the rest all 0. (b +1)番目の要素が１で、残りの全てが０のリストだろう。 The equation of motion for the ensemble is 集合体の運動方程式は Pb(t +1) = P[ft^-1(b)](t). ・・・(4) I shall refer to ^Pb(t) as the ‘projector for the bits to take the values b at time t’. 私は ^Pb(t) を「時刻ｔにおいて値ｂを取るビットの投影」であるとしよう。 The reason for this terminology is, as will become apparent below, この専門用語を用いた理由は、以下で明らかになるように、 that these are the e-number analogues of quantum projection operators or Boolean observables. これは、量子投影演算子やブーリアン(二値)観測量に似せたｅ-ナンバーとなっているのだ。 Note that they are not projection operators on V, but elements of V. これはベクトル空間Ｖ上の投影演算子ではなく、Ｖの要素であることを留意せよ。 If {λb} are any c-number coefficients and g is any function initially defined on c-numbers, {λb}を係数、ｇをｃ-ナンバー上で初期に与えられた関数とすれば、 we can define 我々は次式を定義できる ｇ(Σ[b]λb ^Pb(t)) ≡ Σ[b]ｇ(λb) ^Pb(t) . ・・・(5) From (3), (5) and (4) it follows that 式 (3), (5), (4) から次のようになる ^b(t +1) = ft( ^b(t) ). ・・・(6) Hence the equation of motion (6) of the e-bits has the same form それゆえｅ-ビットの運動方程式(6)の一部が、 as its counterpart (1) for a single classical computer, １つの古典的コンピューターのそれ(1) と同じになる、 with e-numbers replacing integers. 整数に置き換えられたｅ-ナンバーを用いて。 Apart from multiplication by a c-number in the usual vector-space manner, 通常のベクトル空間でのように、ｃ-ナンバーによる掛け算を別として、 the algebra has three further forms of multiplication, この代数にはさらなる３つのる掛け算の形式がある、 which may all be defined by their actions on the projectors: それらは全て、投影の挙動によって定義される： The scalar product ^x.^y is defined by 内積 ^x.^y は次のように定義される ^Pa(t).^Pb(t) = δab. ・・・(7) The e-number product ^x^y, which is the e-number analogue ｅ-ナンバーの積 ^x^y を、古典的あるいは量子的な観測量の積に似せて、 of the classical or quantum product of observables, is defined by 次のように定義する ^Pa(t)^Pb(t) = ^Pa(t)δab. ・・・(8) We can also define a unit e-number ^1 = Σb ^Pb(t) for any t, 我々はｅ-ナンバーの単位元を、全てのｔに対して ^1 = Σb ^Pb(t) と定義し、 and a zero e-number ^0 = 0, ｅ-ナンバーのゼロを ^0 = 0 とする、 which have the usual multiplicative properties with respect to e-number multiplication. これらはｅ-ナンバーの多重性を考慮して、通常の多重的な性質を有している。 The tensor product ^x@^y , which is used for combining ensembles, テンソル積 ^x@^y を、集合体を結合するのに用いるので、 could, for instance, be defined by こんな風に定義できるだろう ^P[a^E](t) @ ^P[b^E'](t) = ^P[(2^N[a+b])^(ExE')](t), ・・・ (9) where the two projectors on the left of (9) refer to ensembles E and E', ここで(9)の左辺の、集合体ＥとＥ’を指し示す２つの項は、 the second having N bits per element, １要素につきＮビット有しており、 and the projector on the right refers to the combination E x E' of those two ensembles. 右辺の項は、左辺の２つの集合体 E x E' の結合を指し示している。 The connection with the conventional representation is 簡便な表現による結合は μb(t) = ^μ.^Pb(t). ・・・(10) We can now regard Fig. 2 as showing the history of ^b(t) in the ‘state’^μ, 今や我々は図２を見なすことができる、「状態」^μ の履歴 ^b(t) として、 rather than the history of the {μb(t)}. {μb(t)} の履歴というよりも。 Note that from a complete specification of the algebra generated by the e-numbers ^μ, ^b(t) and ^1, これは完全な代数の規定から、ｅ-ナンバー ^μ、^b(t)、^1 によって生成される、 (i.e. a means of calculating the scalar products of all the expressions 例えば全ての表現のスカラー積を計算する手段は、 that can constructed from those e-numbers by addition, それらはｅ-ナンバーから加えることで構成されるのだが、 scalar multiplication and e-number multiplication), スカラー積とｅ-ナンバーの積である） one can obtain the projectors ^Pb(t) for all states b that are present in the ensemble at any time t: 時刻ｔにおける集合体のｂの全状態 ^Pb(t) の積は次のようにして得られる、 ^Pb(t) = δ(^b(t) - b^1), ・・・ (11) where δ is an e-number version of the Kronecker delta function, defined by ここで δ はクロネッカーデルタ関数のｅ-ナンバー版であり、その定義は δX(^X) = (1/(2N -1)!) Π[b=1,2^N-1] (b・^1 - ^X). ・・・(12) It then follows from (10) that a complete description of the ensemble (10)から次のことがわかる、集合体の完全な記述は is contained entirely in the algebra of its e-number descriptors ^μ, ^b(t) and ^1, ｅ-ナンバーの記載 ^μ, ^b(t) and ^1 の代数の中に全て含まれている、 independently of any particular representation of these e-numbers as 2^N -tuples. ｅ-ナンバーの２Ｎ乗の組による特定の表現とは独立に。 ------------------------------------------------------------------------------- 4. Quantum computers performing classical computations 古典的計算を実行する量子コンピューター The central question addressed in this paper can now be stated as follows: 本論における核心となる疑問点は次のようになってくるだろう： in what sense, and in what approximation, いかなる意味において、またいかなる近似において、 can a quantum computation be said to contain an ensemble of classical computations? 量子計算は古典的計算の集合体を含み得るのか？ Consider a quantum computational network containing N qubits Q1,...,QN . Ｎ個のｑビット（量子ビット）Q1〜QN を含むネットワークを考えてみよう。 Following Gottesman (1999) and Deutsch and Hayden (2000), ゴッテスマン(1999)とドイチュとハイデン(2000)に従って、 let us represent each qubit Qk at time t in the Heisenberg picture by a triple ハイゼンベルグ描像内で時刻ｔにおけるｑビット Qk を次の３つの ^bk (t) = (^b[kx](t), ^b[ky](t), ^b[kz](t)) ・・・(13) of 2^N x 2^N Hermitian matrices ハミルトニアン行列によって記述しよう、 representing Boolean observables (projection operators) of Qk , satisfying (そのハミルトニアン行列は) Qk のブーリアン(二値)観測量(投影演算子)であり、次の条件を満たす [^bk(t),^bk'(t)] = 0 (k ≠ k') (^1 - 2 ^b[kx](t))(^1 - 2 ^b[ky](t)) = i(^1 - 2 ^b[kz](t)) | (and cyclic permutations over (x,y,z)) ^b[kx](t)^2 = ^b[kx](t) | ・・・(14) The Heisenberg state |ψ> of the network is a constant, ネットワークのハイゼンベルグ状態 |ψ> は定数なので、 so we can adopt the abbreviated notation <^X> ≡ <ψ|^X|ψ> 我々は <ψ|^X|ψ> の省略表記 <^X> を適用しよう、 for the expectation value of any observable ^X of the network. ネットワーク ^X の観測量の期待値として。 The effect of an n-qubit quantum gate during one computational step is to transform the 3n matrices １計算ステップ中のＮ-Ｑビット量子ゲート効果は、ｎ個のＱビットを表す３ｎ行列を変換するはずだ、 representing the n participating qubits into functions of each other お互いの相互作用に、 in such a way that the relations (14) are preserved. 関係式(14)を満たすような方法で。 Rotations of any descriptor ^bk(t), 記述子 ^bk(t) の回転は、 considered as a (matrix-valued) 3-vector in the Euclidean x-y-z space, are such functions. （行列値の）ユークリッドX-Y-Z空間内の３つのベクトルを考えたとき、そのような関数となっている。 This allows a large class of possible alternative representations of the qubits, このことは、Ｑビットについて多くの代替表現を取り得ることを可能にする、 corresponding to the freedom to make such rotations for each qubit 自由度に対応して、そのようなＱビットの回転が independently and then to redefine all the x-, y- and z- directions. 独立に、そして x-, y-, z- の全ての方向について再定義できるように。 By convention we use this freedom to choose a representation 慣例によって我々はこの表現選択の自由度を (if one is available) in which the z-components b[kz](t) are stabilised (もし１つが有効なら）そこでの Z成分 b[kz](t) は安定化される、 by any decoherence or measurement that may occur, 起こりうるデコヒーレンス(干渉消失)か測定によって、 or more generally, in which those components are performing classical computations (see below). またはより一般的に、古典的計算を実行する成分内で（後述）。 In any case, we can define いかなる場合でも、我々は定義できる ^b(t) = 2^(N-1) ^b[Nz](t) + ... + 2 ^b[2z](t) + ^b[1z](t), ・・・(15) as for a classical computer, 古典的コンピューターに関して言えば、 though note that ^b(t) is not a complete specification of the state of the quantum computer at time t: たとえ ^b(t) が完全に量子コンピューターの時刻ｔの状態を規定していなかったとしても、 there are also the other components of the descriptors {^bk(t)}, and the Heisenberg state |ψ>. 記述子 {^bk(t)} の、そしてハイゼンベルグ状態 |ψ> の、別のコンピューターが存在する、 In principle, one could change the representation at every computational step, 原理的に、どの計算ステップでも表現は変更できる、 but that adds no generality, しかしそれは一般概念を付け加えることはない、 being the same as studying a different network in a constant representation. 一定の表現内の異なるネットワークの研究の在り方と同じように。 It would also be possible to construct alternative representations それはまた別の表現を構成し得るだろう、 that were related to this one by more general transformations それはより一般的な変換によって関係付けられる、 that are not expressible as compositions of singlequbit transformations. (その変換とは)１つのＱビットの変換の構成によって表すことができない。 However, these would not be appropriate in the present investigation しかし、ここまでの見当において、それらは適切ではないだろう、 because the ‘qubits’ in such representations would not be local in the network, なぜならそういった表現内の「Ｑビット」はネットワーク内で局所的ではない、 and in order to model information flow we are using local interactions そして情報の流れモデルのため、我々はネットワークの局所的相互作用 (gates) of the network to model local interactions in general quantum systems. (ゲート) を、一般的な量子システム内の局所的相互作用としてモデル化しよう。 A quantum network (or sub-network) is said to be ‘performing a classical computation’ 量子ネットワーク（又はその一部）は「古典的計算を行っている」と言える during the ( t +1) ‘th computational step （ｔ＋１）段目の計算ステップの間に if its ^b( t +1) = f(^b(t)) for some function f (not necessarily invertible). その ^b( t +1) = f(^b(t)) となる何らかの同一の関数ｆ（必ずしも可逆ではない）によって。 This occurs if and only if all its gates that act on qubits これはもし、そして単にもし、Ｑビットに働く全てのゲートが during that step have classical analogues - including one-qubit gates with the effect そのステップ間に、古典的な類似性を有するなら -- １つのＱビットゲートが次の結果を含んで ^bk(t +1) = (anything, anything, ^b[kz](t)), ・・・(16) which is a non-trivial quantum computation but corresponds to the classical gate それは消して自明ではない量子計算であるばかりでなく、古典的ゲートに対応する whose only computational effect is a one-step delay. そこでの計算結果は１ステップだけの遅れで。 That is not to say that the quantum network is a classical computer during such a period: それは、量子ネットワークが一定期間古典的コンピューターになるというのではない： it still has qubits rather than bits; やはりＱビットはただのビットではない； it (or at least, the network as a whole) is still undergoing coherent motion; それ（少なくとも、ネットワーク全体）は干渉動作し続けている； and its computational state is not specified by any sequence of N binary digits. そしてその計算状態は、いかなるＮ二進数の並びにも規定されない。 The Toffoli gate, which is universal for reversible classical computations, トフォリゲート、それは可逆な古典的計算で普遍的なものだが、 is defined as having the following effect on the k’th, l’th and m’th bits of a classical network: 次のように定義される、後に続く k番目、l番目、m番目の古典的ネットワークのビットによって： | bk(t+1) | | bk(t) | | bl(t+1) | = | bl(t) | | bm(t+1) | | bm(t) + bk(t) bl(t) - 2 bk(t) bl(t) bm(t) | ・・・ (17) It follows from the results of Section 3 that in an ensemble of networks containing a Toffoli gate, 第３章の結果からすると、トフォリゲートを含むネットワーク集合体は当然次のようになる、 its effect has the same functional form as (17), with e-numbers replacing c-numbers: その結果は(17)と同じような関数形式を有し、ｃ-ナンバーをｅナンバーに置き換えて： | ^bk(t+1) | | ^bk(t) | | ^bl(t+1) | = | ^bl(t) | | ^bm(t+1) | | ^bm(t) + ^bk(t) ^bl(t) - 2 ^bk(t) ^bl(t) ^bm(t) | ・・・ (18) Compare this with the effect of the quantum version of the Toffoli gate: 量子版のトフォリゲートの結果と比べてみよう： | ^bk(t+1) | |( ^b[kx]+^b[lz]^b[mx]-2^b[kx]^b[lz]^b[mx], ^b[ky]+^b[lz]^b[mx]-2^b[ky]^b[lz]^b[mx], ^b[kz] )| | ^bl(t+1) | = |( ^b[lx]+^b[kz]^b[mx]-2^b[kz]^b[lx]^b[mx], ^b[ly]+^b[kz]^b[mz]-2^b[kz]^b[ly]^b[mx], ^b[lz] )| | ^bm(t+1) | |( ^b[mx], ^b[my]+^b[kz]^b[lz]-2^b[kz]^b[lz]^b[my], ^b[mz]+^b[kz]^b[lz]-2^b[kz]^b[lz]^b[mz] )| ・・・(19) For the sake of brevity, 簡単のため、 the parameter t has been suppressed from all the matrices on the right of (19). 全ての行列のパラメーターｔは右辺のみに抑えてある。 It is easily verified that the conditions (14) are preserved by this transformation. 簡単に確かめられるだろう、条件(14)がこの変換によって保存されることが。 Notice that the z-components ^b[kz](t + 1), ^b[lz](t +1), ^b[mz](t +1) of the 注意せよ、 Ｑビット記述子のＺ成分 ^b[kz](t + 1), ^b[lz](t +1), ^b[mz](t +1) は descriptors of the qubits emerging from the gate (third column on the right of (19)) 次のゲートから生成される（(19)の右辺の３番目の列） depend only on the z-components ^b[kz](t), ^b[lz](t), ^b[mz](t) of the descriptors それは、ゲート入力のＱビットの記述子のＺ成分 ^b[kz](t), ^b[lz](t), ^b[mz](t) of the qubits entering the gate. だけに依存する。 Notice also that these z-components commute with each other また注意せよ、これらのＺ成分は互いに交換する and that their equation of motion has the same functional form as that of the そしてそれらの運動方程式は次のものと同じ機能形式を持つ、 corresponding ensemble of classical computers (18). 古典的コンピュータの集合体(18)と対応して。 Given the universality of the Toffoli gate, トフォリゲートの普遍性が与えられたとすれば、 all these properties must hold whenever a quantum network, or any part of it, それら全ての性質は量子ネットワークであっても保持される、それが一部であっても、 performs a classical computation. 古典的計算を実行する。 In other words, whenever any quantum network 言い換えれば、いついかなる量子ネットワークであっても (including a sub-network of another network) is performing a classical computation f, （他のネットワークの一部を含む）は古典的計算ｆを実行する、 the matrices {^b[kz](t)} for that network evolve independently of all its other descriptors. ネットワークの行列 {^b[kz](t)} は、そのほかの全ての記述子から独立して発展する。 Moreover, under the following correspondence さらに、次のような対応関係において Ensemble Quantum ^bk(t) <-> ^b[kz](t) ^b(t) <-> ^b(t) ^μ <-> |ψ><ψ| ^1 <-> ^1 ^Pb(t) <-> ^Pb(t)≡|b;t> Tr ^X^Y ^X^Y <-> ^X^Y ^X@^Y <-> ^X@^Y ・・・(20) the commuting algebra of these matrices forms a faithful representation of the このような行列形式の交換代数はそのままの表現となっている algebra of e-numbers describing an ensemble of classical networks performing f. ｅ-ナンバーの代数、それはｆを実行する古典的ネットワークの集合によって記述する。 In (20), |b;t> is the eigenvalue-b eigenstate of ^b[kz](t), (20)において、|b;t> は b の固有値、^b[kz](t) の固有状態、 and ^X and ^Y are the same functions of the そして ^X と ^Y は {^b[kz](t)} の関数と同じである、 as ^X and ^Y respectively are of the {^bk(t)}. それぞれ {^bk(t)} の ^X and ^Y のものと。 We also have ^b( t +1) = ft(^b(t)), the analogue of (6). 我々はまた、(6)に類似して ^b( t +1) = ft(^b(t)) を得る。 Thus Fig. 2, showing the course of an ensemble of classical computations, かくして図2、古典的コンピューターの集合体のコースを示しているのだが、 could equally well be a graph of the quantities <^Pb (t)> in a quantum computer 同時に、量子コンピューターの数量 <^Pb (t)> のグラフにもなっている、 that was performing the same classical computation as that ensemble. （その量子コンピューターは）集合体としての古典的計算と同じように実行している。 Note also that while the quantities ^μ.^Pb(t) form a また次のことに注意せよ、数量 ^μ.^Pb(t) が complete description of the ensemble of classical computations, 古典的計算の集合体の完全な記述から得られるのに対し、 the <^Pb(t)> are not a complete description of the state of the quantum computation. <^Pb(t)> は量子計算状態の完全な記述子にはなっていない。 Thus in any sub-network R of a quantum computational network かくして、量子計算ネットワークのどの部分Ｒをとってきても、 where a reversible classical computation is under way, 可逆古典的計算が進行中である間、 half the parameters describing R are precisely the descriptors of an ensemble of classical networks. Ｒを記述するパラメーターの半分は、正確に古典的ネットワーク集合体の記述子である。 It is half the parameters because, from (14), any two of the three components of なぜパラメーターの半分なのか、(14)から、{^bk(t)}の３つの構成のうちどの２台をとってきても {^bk(t)} determine the third. ３台目を決定する。 This does not imply that such a subsystem constitutes half the region of the multiverse in which R exists. このこと示唆してはいない、このようなサブシステムがＲの存在する多世界宇宙の半分の領域を構成しているということを。 Proportions in the latter sense 次の意味における比率は、 -- which formally play the role of probabilities under some circumstances, 正式にはある一定の状況下におえる確率の役割を演じるもの、 as shown in Deutsch (1999) are determined by the Heisenberg state as well as the observables, ドイチュ(1999)が示したように、可観測なものと同様にハイゼンベルグ状態を決定する、 and do not concern us here because the present discussion is not quantitative. そして我々のここでの関心事ではない、なぜなら前述の議論は定量的ではないので。 The other half of the parameters, say the {^b[kx](t)}, 残り半分のパラメーター、{^b[kx](t)} と言うのだが、 contain information that is physically present in R Ｒ中に物理的に存在する情報を含んでいる (it can affect subsequent measurements performed on R alone) （その情報は引き続きＲ単体で為された計測に影響を与えうる） but cannot reach the ensemble しかし集合体には届かない (the descriptors of the ensemble being independent of that information). （集合体の記述子はその情報から独立している）。 But the reverse is not true: as (19) shows, しかし逆は真ではない： (19)が示すように、 information can reach the quantum degrees of freedom from the ensemble. 情報は、集合体の量子的な自由度に届く。 The proposition that parts of the multiverse have the same description as an ensemble with given properties 多世界宇宙は、与えられた性質の集合体の記述と同等であるという提案は is not quite the same as the proposition 次の提案と全く同じではない that such an ensemble is actually present in those parts of the multiverse, そのような集合体が実際に多世界宇宙の一部として存在するという（提案とは）、 for the description might refer to entities that are not present in addition to those that are. その記述は存在しない要素を指し示すかもしれない、そうなると付け加えられた存在しない要素を。 In particular, an ensemble has an alternative interpretation as a notional collection, とりわけ、ある集合体は抽象概念上の集まりとして代替可能な解釈物である、 only one member of which is physically real, その中のただ１つが物理的な実在であり、 with the multiplicity of a given branch representing the probability 確率で記述された与えられた分岐の多重度で that the properties of that branch were the ones prepared 分岐の性質は準備されている in the real system at the outset, by some stochastic process. 発端としては現実のシステム内で、何らかの確率的なプロセスによって。 However, no such interpretation is possible if the branches affect each other, しかしながら、そのような解釈物は成り立たない、もし分岐がお互い影響し合うなら、 as they do in general quantum phenomena, それらが量子現象で一般に起こっているように、 and in quantum computations in particular (see Benjamin 2001). とりわけ量子計算の中で。 ------------------------------------------------------------------------------- 5. Quantum computations 量子計算 When a quantum computational network is performing a general computation, 量子計算ネットワークは一般的な計算を行えるのだから、 it need not be the case that the descriptors of any part of the network それは必ずしもあてはまらない、ネットワークのあらゆる部分の記述に、 over two or more computational steps constitute a representation of an evolving e-algebra. 発展したｅ-代数の表現を構成する、２ないしより多くの計算ステップの上に。 There need exist no functions ft and no choice of the ‘z-directions’ 関数 ft や「Ｚ方向」の選定は全く必要ない for defining the ^b[kz](t) and hence ^b(t) , ^b[kz](t) の定義や、それゆえ ^b(t) にも、 such that ^b(t +1) = ft(^b( t)), ^b(t +1) = ft(^b( t)) であるからして、 so the conditions discussed in Section 3 for branches to have an identity over time need not hold. 第３章で論じた分岐の条件を、時間をまたいで識別可能とするために、保持する必要はない。 At each instant t, it is still possible to extract a set of numbers <^Pb(t)> ある特定の時刻ｔにおいて、一組の数字 <^Pb(t)> を引き出すことはなお可能である from the description of the network at time t, その時刻ｔのネットワーク記述の中から、 and these still constitute a partition of unity, そしてなおそれらは単一の中の一部を構成しており、 and still indicate which of the eigenvalues b of the observable ^b(t) are present そしてなお、観測可能な^b(t)の ｂの固有値は存在する in the multiverse at time t 多世界宇宙の時刻ｔにおいて (in the sense that if ^b(t) were measured immediately after time t, もし ^b(t) が時刻ｔの直後に観測されるという意味において、 the possible outcomes would be precisely the values for which <^Pb(t)> ≠ 0 ). 可能な出力は正確に <^Pb(t)> ≠ 0 となるだろう）。 But although the physical evolution is of course always continuous, しかし、物理的発展が当然のように常に連続的だったとしても、 there is in general no way of ‘connecting up the dots’ in a graph of the quantities ^Pb(t) against b and t 一般的に、ｂとｔに対する数量 ^Pb(t) のグラフの「ドットをつなぐ」方法は存在しない that would correctly represent the flow of information. そのグラフは正しく情報の流れを表していたであろう。 Hence there exists no entity (such as a ‘branch’ or‘universe’), それゆえ、このような要素（「分岐」、「宇宙」といったような）は存在しない associated with only one of the values b, that can be identified as a physical system over time. 値ｂだけに関連付くような、それは時間にまたがって物理的なシステムとして識別可能な。 [* ここに図３が入る *] Fig. 3: History of a quantum computation In a typical quantum algorithm, as illustrated schematically in Fig. 3, 代表的な量子アルゴリズム、図３に示したような、 the qubits first undergo a non-classical unitary transformation U, 最初にＱビットは非古典的なユニタリー変換Ｕを進める、 then a reversible classical computation, そして可逆古典計算、 and finally another unitary transformation which is often the inverse U^-1 of the first one. そして最後に別のユニタリー変換、それはしばし最初の逆変換 U^-1 となっている。 Despite the fact that the branches lose their separate identities それぞれの分岐を分離して識別できないという事実にもかかわらず、 during the periods of the quantum transformations U and U^-1, 量子変換 ＵからＵ^-1 の期間中、 we can still track the flow of information reasonably well in terms of ensembles: 我々はなお情報の流れを追うことができる、集合体の観点から合理的に： For t < -1, there is a homogeneous ensemble, t < -1 のとき、一様な集合体がある、 in all elements of which the computer is prepared with the input b. 全ての要素においてコンピューターは入力ｂについて準備されている。 For -1 < t < 0, this region of the multiverse does not resemble an ensemble: -1 < t < 0 のとき、多世界宇宙のこの領域は集合体に似ていない： it has a more complicated structure, それはもっと複雑な構造を有している、 but the quantum computer as a whole does still contain the information that the input was b. しかし量子コンピューターは全体としてなお入力ｂに対する情報を含んでいる。 For 0 < t < 3 an ensemble is present again, this time with four branches. 0 < t < 3 のとき、集合体はまた存在する、今回は４つの分岐で。 The information about b may no longer be wholly present in that ensemble; ｂについての情報はもはやこの集合体の全存在ではない； some or all of it may be in the other half of the computer’s degrees of freedom. 一部、もしくは全部がコンピューターの持つ自由度の残る半分かもしれない。 For t > 3 the story is similar to that for t < 0, t > 3 のとき、お話は t < 0 に似ている、 but in reverse order, しかし順序反転すると、 so that finally there is a homogeneous ensemble with all elements holding the value g(β). 最終的に値 g(β) の持つ全ての要素の一様な集合体が存在する。 Consider a quantum computation whose ( t +1) ‘th step has the effect: (t+1)段目のステップが効果をもたらす次のような量子計算を考えよう： ‘if qubit N is 1, evaluate the invertible function ft on qubits 1 to N -1, 「もしＮ番目のＱビットが１だったなら、可逆関数ｆｔを１からＮ−１まで評価せよ、 and otherwise perform the unitary transformation Ut on those qubits’. そうでなければユニタリー変換ＵｔをそれらのＱビットについて実行せよ」。 In other words, during the ( t +1) ‘th step the computer performs the transformation: 言い換えれば、(t+1)段目のステップの間、コンピューターは次の変換を実行する： Vt = ^b[Nz] Σ[b=0,2^(N-1)-1]|ft(b)> = 1. 全体として古典的計算を実行しない、<^b[Nz]> = 1 の場合を除いて。 Nevertheless, it is still the case that some of the descriptors of this network にもかかわらず、それはまだ次の事例で在り続ける、ネットワーク、 -- only about a quarter of them, this time, namely the { ^b[Nz] ^b[kz](t) } -- -- その 1/4 だけについて、今回の場合、すなわち { ^b[Nz] ^b[kz](t) } について -- are those of a causally autonomous ensemble of classical computers, の記述は因果的に自立した古典的コンピューターの集合体である、 which, by the argument above, means that such an ensemble is present. それは、上の議論から、そのような集合体が存在することを意味する。 Half the descriptors, 記述の半分、 say the { (^1 - ^b[Nz]) ^b[kz](t) } Ｕ { ^1 - ^b[Nz]) ^b[kx](t) }, 言うなれば { (^1 - ^b[Nz]) ^b[kz](t) } Ｕ { ^1 - ^b[Nz]) ^b[kx](t) } は、 do form a causally autonomous system 因果的に自立したシステムを形作るが but do not form a representation of an e-algebra, ｅ-代数の表現を形作らない、 while the remaining quarter, say, the { ^b[Nz] ^b[kx](t) }, 一方残りの 1/4、言うなれば、{ ^b[Nz] ^b[kx](t) } は、 are neither causally autonomous nor (therefore) form a representation of an e-algebra. 因果的に自立してもいなければ、（それゆえ）ｅ-代数の表現も形作らない。 Thus this system has the following information-flow structure: かくしてこのシステムは次のような情報の流れの構造を持つ： it consists of two subsystems between which information does not flow. それは２つのサブシステムから成り、その間で情報は流れていない。 One of them is performing a quantum computation and cannot be further analysed into autonomous subsystems; そのうちの１つは量子計算を実行しており、もはやそれ以上因果的に自立したサブシステムとして解析できない； the other contains both an ensemble of 2^(N-1) classical computations もう一方は、 両方の 2^(N-1) 個の古典的計算の集合体を含み、 and a further system that can not be analysed into autonomous subsystems; そしてさらに自立したサブシステムとして解析できないシステムを（含む）； moreover, information can reach it from the ensemble but not vice-versa. その上、情報は集合体からそこに届くが、逆には届かない。 In this network, the individual branches of the ensemble このネットワークにおいて、集合体の個々の分岐は、 whose e-number algebra is represented by the matrices { ^b[Nz] ^b[kz](t) }, その集合体のｅ-ナンバー代数は { ^b[Nz] ^b[kz](t) } といった行列で表されるのだが、 qualify as physical systems according to the criteria of Section 1 物理的なシステムとして成り立っている、第１章の基準によれば because, for instance, なぜなら、たとえば if ^X(t) is any observable on the network at time t and 0 <= k < 2^(N-1), もし ^X(t) が、ネットワーク上で時刻ｔ、0 <= k < 2^(N-1) の範囲で観測可能だったなら、 a measurement of the observable ^b[Nz](t) ^P[k](t) ^X(t) ^Pk(t) ^b[Nz](t) 観測可能な測度 ^b[Nz](t) ^P[k](t) ^X(t) ^Pk(t) ^b[Nz](t) は is a measurement on one such branch alone そのような分岐の上だけの測度である -- the one in which the classical computation is taking place そこでは、古典的計算が起こり and all the classical computers in the branch are in state k at time t. そして分岐内の全ての古典的コンピューターが時刻ｔにおいて状態ｋとなっている。 The ‘controlled-not’ gate, or measurement gate, which has the effect 「コントロールド-ノット」ゲート、又は観測ゲート、それらは次の効果を持つ | ^bm(t+1) | = |( ^b[nx]+^b[mx]-2^b[nx]^b[mx], ^b[nx]+^b[my]-2^b[nx]^b[my], ^b[mz] )| | ^bn(t+1) | |( ^b[nx], ^b[ny]+^b[mz]-2^b[ny]^b[mz], ^b[nz]+^b[mz]-2^b[nz]^b[mz] )| ・・・(22) where again the parameter t has been suppressed from all the matrices on the right of the equation, ここでもまた、右辺の全ての行列からパラメーターｔが省略されている、 can be used to model the effects of measurement and decoherence. 測定やデコヒーレンス（干渉消失）の効果モデルとして用いることができる。 Qm is known as the ‘control’ qubit and Qn the ‘target’ qubit. Ｑｍ は「コントロール」Ｑビットとして知られており、Ｑｎは「ターゲット」Ｑビットである。 Because this is a reversible classical computation (or rather, the quantum analogue of one), これは可逆な古典的計算なので（あるいはむしろ、その量子的なたとえなので）、 the last (z-) column of (22) again depends only on the z-components (22) の最後の (z-) 列はＺ成分だけに再び依存する ^b[mz](t) and ^b[nz](t) of the descriptors of the qubits entering the gate. ゲートに入力したＱビットの記述子の ^b[mz](t) and ^b[nz](t) （といったＺ成分）に。 Furthermore, the z-component of the descriptor of the control qubit その上、コントロールＱビットの記述子のＺ成分は is unaffected by the action of the measurement gate 測定ゲートの動作に影響されない (i.e. ^b[mz](t + 1) = ^b[mz](t)). （すなわち ^b[mz](t + 1) = ^b[mz](t) ）。 Therefore, if some sub-network of a quantum network 従って、もし何らかの量子ネットワークのサブネットワークが performs a classical computation for a period if the network is isolated, ネットワークが単離しているかどうかという一定期間、古典的計算を実行したなら、 and then it is run with some or all of the observables {^b[kz]} それは一部ないし全部の観測可能な {^b[kz]} と共に作動する being repeatedly measured between computational steps, 計算ステップ間で繰り返し測定されつつ、 it will still perform the same classical computation それはなお同じ古典的計算を実行するだろう、 and will contain an ensemble identical to that which it would contain if it were isolated そして、単離されているかどうかについてを含んだものから識別可能な集合体を含むだろう (though its other descriptors will be very different). （たとえその他の記述子が大きく異なっていたとしても）。 Since decoherence can be regarded as a process of measurement of a quantum system by its environment, デコヒーレンス（干渉消滅）は、その環境から量子システムの観測のプロセスと見なせるから、 the same conclusion holds in the presence of decoherence. 同じ結論が適用できる、デコヒーレンスの存在中に。 It also holds, by trivial extension, if the classical computation is irreversible, それはまた適用できる、明らかな拡張によって、もし古典的計算が非可逆ならば、 since an irreversible classical computation is simply a reversible classical computation 非可逆古典計算が単に（ある種の）可逆古典計算（と同等）であるなら、 in which some of the information leaves (becomes absent from) the sub-network under consideration. そこ（可逆古典計算）では何らかの情報が残る（不在となる）考察中のサブネットワークの下で。 Since a generic quantum computational network does not perform anything like a 一般的な量子計算ネットワークは次のようなことを実行しないのであるから、 classical computation on a substantial proportion of its qubits for many computational steps, 多くの計算ステップのためのＱビットの充分な比率の上での古典的計算のようなことを、 it may seem that when we extend the above conclusions to the multiverse at large, 次のように思える、我々が上の結論を大きく多世界宇宙に当てはめようとしたとき、 we should expect parallelism (ensemble-like systems) 我々は並列性（集合体のようなシステム）を期待するべきだろう、 to be confined to spatially and temporally small, scattered pockets. 空間的にかつ一時的に小さく、散らばったポケットに閉じこめられた。 The reason why these systems in fact extend over the whole of spacetime with the exception of some small regions なぜこのようなシステムを実際に一部の小さな領域を除いた全時空に拡張するのか、 (such as the interiors of atoms and quantum computers), （原子やコンピューター内部のような一部の小さな領域） and why they approximately obey classical laws of physics, そしてなぜそれらは近似的に古典的な物理法則に従うのか、 is studied in the theory of decoherence (see Zurek 1981, Hartle 1991). それについてはデコヒーレンスの研究が為されている（ズーレク 1981, ハートレー 1991 を見よ）。 For present purposes, note only that 存在目的のため、次のことだけ注意せよ although most of the descriptors of physical systems throughout spacetime たとえ時空を通じた物理的なシステムの記述子のほとんどが do not obey anything like classical physics, 古典的物理のようなものに従わないとしても、 the ones that do, form a system that, to a good approximation, あるものが為すのは、あるシステムから、良い近似として、 is not only causally autonomous 因果的に自立していないばかりでなく but can store information for extended periods and carry it over great distances. 情報を蓄え得る、期間を延長するため、遠大な距離を超えて運ぶために。 It is therefore that system which is most easily accessible to our senses -- indeed, それゆえにシステムなのである、我々の感覚に最も簡単に触れることのできるシステム -- 実際には、 it includes all the information processing performed by our sense organs and brains. それは、我々の感覚器官と脳によって処理される全ての情報を含んでいる。 It has the approximate structure of a classical ensemble comprising ‘the universe’ それは、「宇宙」を含んだ古典的な集合体のおよその構造を有している、 that we subjectively perceive and participate in, and other ‘parallel’ universes. その宇宙で我々は主観的に考え、そして加わっている、そして他の「並列な」宇宙にも。 In Section 1 I mentioned that 第１章で私は次のことに言及した the theory presented here does roughly the same job for the multiverse ここで提案した理論は、多世界宇宙の仕事と大まかに似ている、 as the theory of foliation into spacelike hypersurfaces does for spacetime in general relativity. 一般相対性理論の時空で空間的な超平面が為している葉状構造の理論のような。 There are strong reasons to believe that this must be more than an analogy. そこには単なる比喩という以上に強く信ずるに足る理由がある。 It is implausible that the quantum theory of gravity will involve observables that are functions of a c-number time. 量子重力理論がｃ-ナンバー時間の観測可能な関数を含んでいるとは信じ難い。 Instead, time must be associated with entanglement between clock-like systems and other quantum systems, そのかわり、時間は時計のようなシステムと他の量子システムのエンタグルメント（もつれ合い）に関係しなければならない、 as in the model constructed by Page and Wootters (1983), ページとウッター(1983)が構築したモデルでのように、 in which different times are seen as special cases of different universes. そこでは異なる時間は異なる宇宙の特殊な場合と見なされている。 Hence the theory presented here and the classical theory of foliation それゆえここに提唱した理論と古典的な葉状構造の理論は must in reality be two limiting cases of a single, yet-to-be-discovered theory 事実として２つの限定的な場合でなければならない、１つの、これから発見されるべき理論の -- the theory of the structure of the multiverse under quantum gravity. -- 量子重力の下での多世界宇宙の構造理論という。 ------------------------------------------------------------------------------- Acknowledgement I wish to thank Dr. Simon Benjamin for many conversations in which the ideas leading to this paper were developed, and him and Patrick Hayden for suggesting significant improvements to previous drafts. References Benjamin, S. (2001) (in preparation). Deutsch, D. (1985) Int. J. Theor. Phys. 24 1 Deutsch, D. (1997) The Fabric of Reality, Chapter 2, Allen Lane, The Penguin Press, London. Deutsch, D. (1999) A455, 3129-3197. Deutsch, D. and Hayden, P. (2000) Proc. R. Soc. Lond. A456, 1759-1774. DeWitt, B.S. and Graham, N. (1973) The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton NJ. Everett, H. (1957) In DeWitt and Graham (1973). Gottesman, D. (1999) Group22: Proceedings of the XXII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, S. P. Corney, R. Delbourgo, and P. D. Jarvis, (eds.) 32-43 (Cambridge, MA, International Press). Hartle J.B. (1991) Phys. Rev. D44 10, 3173. Page, D.N. and Wootters, W. (1983) Phys. Rev. D27 12, 2885-2892. Zurek, W. H. (1981) Phys. Rev. D24 1516-25. ===============================================================================