※ ※ New Journal of Physics. 7 (2005) 10 という雑誌に掲載されていた、 ※ 『From Maxwell demon to Brownian motor』という論文の和訳です。 ※ 計算機シミュレーションの参考に、ということで個人的に訳したものです。 ※ ※ この訳には、図と数式の部分が載っていません。 ※ その部分はオリジナルの論文と合わせて見てください。 ※ ※ オリジナルの論文は、 ※ http://www.iop.org/EJ/article/1367-2630/7/1/010/njp5_1_010.html ※ PDF版は ※ http://www.iop.org/EJ/article/1367-2630/7/1/010/njp5_1_010.pdf?request-id=95fc5f53-94fb-47a7-b734-b3761c1c1638 ※ にあります。 ※ ※ ここにあるのは、もちろん「温度差のある環境下で動作するブラウン運動モーター」についてのシミュレーションです。 ※ 本サイトにあるような「温度差が無いところで動くモーター」についての論文ではありません。 ※ ======================================================================== New J. Phys. 7 (2005) 10 From Maxwell demon to Brownian motor マックスウェルの悪魔からブラウン運動モーターまで C Van den Broeck, P Meurs and R Kawai Abstract. 要約 Several versions of a hard disc microscopic ratchet are introduced and studied with molecular dynamics. 剛体円のミクロなラチェットのいくつかを、分子動力学的に研究紹介しよう。 While, at equilibrium, no rectification of the fluctuations takes place, 平衡条件下では、いかなるゆらぎの整流も起こらないので、 a systematic motion appears when a temperature difference is applied to different units of the motor. システマティックな運動は、温度差がモーターの異なる部分に働いたときに生じる。 In the limit of dilute gases, an exact analytic calculation of its properties is found to be in excellent agreement with molecular dynamics simulations. 希薄な気体という制限の中で、その性質の正確な解析計算は分子動力学シミュレーションとすばらしい一致を見せた。 ------------------------------------------------------------------------ 1. Introduction 序論 Few stories in science have received so much ongoing attention from both the general public and the scientific community and have led to many, 数少ない科学の話が、一般人と科学の専門家の両方の注意を引き続けるように受け容れられ、 often confusing and sometimes acrimonious, しばし混乱し、そして時に辛辣に、 debates as the second law of thermodynamics and its possible violation. 熱力学第二法則と、それが破れうるかどうかについての議論を引き起こした。 While there exists a general consensus that the second law is obeyed in macroscopic systems, マクロなシステムは第二法則に従うという常識がある一方で、 opinion is less clear cut when one deals with small-scale systems. 微細スケールのシステムについての扱いはさほど明瞭ではないという意見もある。 In this respect, one usually refers to the problem of Maxwell demons, この側面から、マックスウェルの悪魔という問題が引き合いに出される、 defined as non-macroscopic objects that violate the second law of thermodynamics [1]. それは熱力学第二法則を打ち破る、日常スケールではない何物かである。 In the original construction proposed by Maxwell [2], もともとマックスウェルが提唱したところによると、 a demon-like device operates a door separating two compartments of a container, 悪魔のようなものが、1つの容れ物を2つの区画に区切ったドアを操作するのである、 opening and closing it in such a way that only fast particles from one side and slow particles from the other side are allowed to pass, 一方の区画に速い粒子だけが、その反対の区画に遅い粒子だけが通過できるようにドアを開け閉めする、 thereby `spontaneously' generating a temperature gradient. そうして「自然に」温度勾配が生じる。 Maxwell was apparently under the impression that such a construction might be possible, マックスウェルは、このようなものを作り出すのは可能かもしれないと思った、 provided one were able to operate and manipulate at this small-scale level. もし微細レベルの操作ができるのであれば。 However in the long debate that followed the introduction of the demon, しかし、以下に紹介するような悪魔についての長い議論の末、 several general arguments and subtle issues were pointed out by a series of other distinguished physicists. 際立った物理学者たちによって、幾つかの一般的な議論と微妙な問題が指摘された。 Smoluchowski [3] argued that the demon, being itself of small scale, スモルコフスキーは、そのような悪魔はあまりにも小さいので、 could only function properly if it was not subject to thermal fluctuations, もし熱揺らぎの影響にさらされるのであれば、正しく動作しないだろうと指摘した、 i.e., it had to be cooled at the expense of entropy production. つまり、それはエントロピー増大の代価を払って冷やさなければならない。 Onsager [4] noted that microreversibility in Hamiltonian systems at equilibrium (canonical or micro-canonical ensemble) imply the property of detailed balance, オンサーガーは次の点に触れた、平衡状態(カノニカル、又はミクロカノニカル集合)におけるハミルトン系のミクロな可逆性は、詳細釣り合いの性質を示している、 meaning that any process and its time-reverse occur with the same probability, そこではある過程と、その時間反転が同じ確率で生じることを意味する、 excluding any Maxwell-demon-like rectification. マックスウェルの悪魔のような整流過程だけを例外として。 Szilard [5] and Brillouin [6] focused on the innocuous-looking assumption that one needs to know the speed of the particle and argued that the information process or measurement process would necessitate entropy production, シラードとブリルアンは、粒子の速度を知ることが必要であるという、一見関係なさそうに見える仮定に焦点を当てた、そして情報処理や測定処理にはエントロピー生成が必須であると論じた、 off-setting any entropy decrease realized by the demon. それは悪魔が減らすことになるエントロピーを相殺する。 This issue was settled by Landauer [7], who identified the erasure of information as the irreversible entropy-producing step. この考えはランダウアーによって定着した、彼は情報の消去には不可逆なエントロピー生成がともなうことを示した。 Feynman [8] proposed a detailed construction inspired by the discussion of Smoluchowski [3] (see figure 1), ファインマンはスモルコフスキーの議論に触発されて、ある仕組みを提案した(図1)、 and performed an explicit calculation to show that the rectification can only take place if there is a temperature difference between the demon and the gas. そして正確な計算によって熱揺らぎは悪魔と気体との間に温度差がある場合にのみ働くことを示した。 His calculation indicates that work can indeed be extracted, reaching in fact Carnot efficiency, a result that was later refuted in [9, 10]. ファインマンの計算は、その仕組みが実際にカルノー効率にまで達するという結果を引き出したが、後にそれは反論を招いた。 Today, the issue of Maxwell demons has become even more relevant than at the time of Maxwell. 今日では、マックスウェルの悪魔の問題は、マックスウェルの時代当時よりも意味を帯びてきている。 Firstly, with the recent breakthrough in the observation, 第一に、最近の観測のブレークスルーによって、 manipulation and even the manufacture of small-scale physical, chemical and biological objects, 微細スケールの物理的、化学的、生物学的な操作や製造工程など、 the Maxwell construction is no longer a thought experiment but is now technologically feasible [11]. マックスウェルの創造物はもはや思考実験ではなく技術的に実現可能となった。 More generally, the physics, chemistry and biology of the nano and meso scale, より一般的に、ナノそしてメソスケールの物理、化学、生物学は、 a scale at which fluctuations cannot be ignored, そのスケールでは熱揺らぎが無視できないのだが、 will play a predominant role in the scientific and technological advances in the 21st century. 来るべき21世紀の科学とテクノロジーの主役を演じることになる。 Secondly, recent advances in statistical physics stress the relation between different levels of description, 第二に、近年の統計物理学の進歩は異なるレベルの記述の関係に緊張を投げかけている、 relating dynamical, probabilistic and thermodynamic concepts [12, 13]. 動的な、確率的な、そして熱力学的な概念同士の関係に。 Thirdly, the ever rapidly improving computer power allows extremely precise numerical experiments uncovering new aspects of the microscopic dynamics [14]. 第三に、これまでの急速なコンピューターパワーの進歩は極めて正確な数値計算を可能とし、ミクロな動力学に新局面をもたらしている。 Finally, the issue of Maxwell demons is closely linked to the topic of Brownian motors, 最後に、マックスウェルの悪魔の問題はブラウン運動モーターという話題に直結している、 which has recently received considerable attention [15]. それは最近考慮に値する注目を集めている。 Brownian motors are small-scale asymmetric objects that are able to rectify thermal fluctuations because they operate under non-equilibrium constraints. ブラウン運動モーターとは微細スケールの非対称な物体で、熱揺らぎを整流することができる、なぜならそれは非平衡条件下にあるからだ。 It is quite surprising to us that, despite the continuous quest for Maxwell demons, それはかなり驚くべきことに思える、マックスウェルの悪魔についての絶えざる問いかけにもかかわらず、 no exact microscopic analysis has ever been performed, apart from a few deserving attempts [16]-[21]. 正確なミクロの解析が為されていないことは、数少ない検討に値するものを別として。 Our intention therefore is to construct such a model by a simplification of the Feynman model [22]. そこで我々の意図は、ファインマンのモデルを簡素化したモデルを構築することにある。 It should be amenable to extremely precise molecular dynamics simulations and even more importantly to an exact theoretical description. それらは従うはずである、正確な分子動力学シミュレーションに、そしてもっと重要なのは正確な理論の記述にも。 Discovery of such a model proceeded in various steps. そのようなモデルの発見は、様々な段階を経る。 The purpose of this paper is to record the history of this process. 本論の目的は、その発展段階の履歴を記録することである。 The new Brownian motor started its life under the form of a Maxwell demon, called Lucifera. ブラウン運動モーターは、その生誕を「ルシフェラ」と呼ばれるマックスウェルの悪魔に発している。 Over several phases of evolution, involving Angelina, Motorina and Arrowina, 何段階かの進化を経る、その中には「アングリナ」「モータニア」「アローニア」があり、 it finally culminated in a set of Brownian motors, 最後にクライマックスとして一群のブラウン運動モーター、 including Triangulita and Triangula, その中には「トライアングリータ」「トライアングラ」がある、 for which a full microscopic calculation and agreement with molecular dynamics simulations could be achieved. それらの全てにおいて、ミクロな計算と分子動力学シミュレーションの一致が達成されたのである。 ------------------------------------------------------------------------ 2. Feynman ratchet ファインマン・ラチェット Let us first recall some details of the Feynman construction [8] (figure 1). 最初にファインマンの仕組み(図1)について思い起こそう。 He replaces the demon-like being selecting speeds from the original Maxwell proposal by a mechanical rectifier used in clockworks of all kinds, consisting of a ratchet with a pawl and a spring. ファインマンは、もともとマックスウェルが提案したスピードを選択する悪魔のような存在を、バネと歯止めの付いたラチェットを考案することで時計仕掛けの機械的な整流器に置き換えたのである。 The macroscopic mode of operation of such an object generates the impression that only clockwise rotations can take place since the pawl will block any counter-clockwise rotations. このようなものをマクロな状況下で操作すれば、時計回りの回転だけが起こり、反時計回りの回転は歯止めが禁止するように思える。 To drive the motion, Feynman rigidly links the ratchet to a set of blades that undergo collisions with the thermal particles. 運動を起こすために、ファインマンはラチェットを直接、熱運動する粒子と衝突し続けている羽につなげた。 He shows that the rectification will only function for a transient time, 彼は整流が一瞬の間しか機能しないことを示した、 after which the whole construction, その一瞬とは仕組み全体が、 and in particular the spring that retains the pawl, より正確には歯止めを支えるバネが、 will eventually heat up to the same temperature as the particles. たまたま気体分子と同じ高温に達したときだ。 When the pawl lifts by thermal fluctuation, it will no longer prevent counter-clockwise fluctuations. 歯止めが熱揺らぎで持ち上げられたとき、それはもはや反時計回りの揺らぎを禁止しない。 To proceed, he generalizes the construction to a two-compartment system, さらに、ファインマンはこの仕組みを2つの区画を持つシステムへと一般化した、 with the possibility to keep the ratchet and blades at different temperatures. ラチェットと羽が異なる温度を保ち続けることができるように。 The subtlety of his quantitative analysis is revealed by the fact that one of his major conclusions, 彼の定量的な解析は巧妙にも、1つの主要な結論を見出した、 namely that this thermal motor can reach Carnot efficiency, turns out to be incorrect [9, 10]. この熱運動モーターはカルノー効率に達し得ると、しかしそれは間違いと判明するのだが。 An accurate microscopic study based on first principles, 第一原理に基づいた正確なミクロの研究は、 either analytical theory or computer simulation, 解析理論かコンピューターシミュレーションのいずれであっても、 is rather difficult for the original Feynman ratchet due to the presence of the spring and pawl. バネと歯止めが存在するためオリジナルのファインマン・ラチェットでは困難である。 Almost all theoretical studies of this or related models are mesoscopic [16], これと、関連するほぼ全ての理論的な研究はメゾスコピックである、 with the prototype being a Brownian particle travelling in a one- or two-dimensional asymmetric potential. 一次元か二次元の非対称なポテンシャル上を動くブラウン粒子のプロトタイプとして。 However, such stochastic models, usually based on Markovian Langevin dynamics, しかし、そのような確率モデルは、通常マルコフ-ランジュバン方程式に基づくのだが、 are mere toy images of the original model and bypass the fundamental issues involved in rectification. 元のモデルのほんのおもちゃのイメージであって、整流についての基本的な問題を避けている。 Our aim here is to provide an analysis, based on first principles, ここで我々の目的は第一原理に基づいた解析を提供することだ、 with a complementary analysis by microscopic theory and molecular dynamics simulations. ミクロな理論と分子動力学シミュレーションを相補する解析によって。 ------------------------------------------------------------------------ 3. Lucifera 「ルシフェラ」 We first set out to construct a model whose microscopic dynamics can be simulated very accurately. 最初に、ミクロな力学が正確にシミュレートできるようなモデルを構築しよう。 In this respect, hard disc molecular dynamics simulation would clearly be an optimal choice. それには、剛体円の分子動力学シミュレーションがはっきりと良い選択だろう。 Recent codes [14] are relatively fast while the only computational error is due to the round-off error of the computer. 最近のコードは比較的速い、ただコンピューターのエラーが丸め誤差に起因する間は。 We will, without loss of generality, limit ourselves to a two-dimensional hard disc rather than a three-dimensional hard sphere system. 我々は一般性を失うことなく、3次元の剛体球ではなく2次元の剛体円に制限した。 With respect to the Feynman construction, however, we encounter another difficulty. ファインマンの仕組みに敬意を払ったのだが、我々は別の困難に出くわした。 Apart from the outright difficulty of modelling the construction with mechanical entities, モデルを機械的な要素で構築するという困難そのものを別としても、 hard disc simulations cannot be combined efficiently with potential interactions. 剛体円のシミュレーションはポテンシャルとの相互作用と効果的に結びつかない。 On second thoughts, the pawl with spring is not essential in the construction, もう1つの考えとして、バネ付きの歯止めはモデル構築に必須ではない、 even though it has a visual and intuitive appeal, especially to the layperson. たとえそれがビジュアルで直感に訴えたとしても、特に素人にとって。 But any device that breaks spatial symmetry is a candidate rectifier. しかし、いかなる空間的対称性を破る装置が整流器の候補だろう。 Proceeding with further simplification of the Feynman model, ファインマン・モデルのさらなる単純化を進め、 it will be convenient to replace the rotational degree of freedom with a translational one, 回転の自由度を並進運動のものに置き換えたものが都合よいだろう、 with periodic boundary conditions. 周期的な境界条件を持つ。 When we attempt to propose an asymmetric ratchet-like mechanical object, 我々が非対称なラチェットのような機械的仕掛けを試みたところ、 we again encounter a technical difficulty. 技術的な困難に遭遇した。 A ratchet has sharp corners, rendering simulations with hard disc dynamics extremely difficult. ラチェットは鋭角を持っているので、剛体円でのシミュレーション表現は極めて難しい。 In fact, the only collisions that can be treated easily are discs with discs or discs with a flat object, 実際、簡単に扱える衝突といえば、円と円か、円と平面である、 but a collision rule between a disc and a sharp corner is not obvious. しかし円と鋭角の衝突ルールは明らかではない。 It must be defined such that no basic law of physics is violated [17]. 基本的な物理法則は破れないようにしなければならない。 To avoid corners, we can imagine a flat sheet that covers the entire width of the system, 角を避けるため、システム全体の幅をカバーする平らなシートをイメージすることができる、 reminiscent of the adiabatic piston [19, 20]. 断熱ピストンに似たような。 However, for rectification to take place, two other ingredients need to be provided: しかし、整流を実施するため、あと2つの材料を提供する必要がある: the sheet should allow the passage of particles if it is not to hamper its own motion. そのシートは粒子を乗せられなければならない、もともとの運動を邪魔することなく。 Conservation of total momentum implies that the system when initially at rest (total momentum zero) will remain so for all times. 全運動量保存より、最初に静止(トータルの運動量がゼロ)していたシステムは、その後も常にそうあり続けなければならない。 If the sheet cannot be crossed by particles, then a sustained motion will be impossible. もしシートが粒子によって横切られなかったなら、持続した運動は不可能だろう。 The second ingredient is that the object needs to be asymmetric. 2つ目の材料は非対称性のためのものだ。 The first requirement can be met by assuming that the sheet has a potential of interaction, 最初の要求は、そのシートが相互作用のポテンシャルを有すると仮定することによって満たされる、 that is infinitely sharp leading to an instantaneous collision, それは極限まで鋭く瞬間的な衝突を導く、 as is usual with hard core interactions, but does not have an infinite height. ちょうど剛体中止の相互作用のように、しかし無限の高さは持たない。 More precisely, when the relative kinetic energy of the motion of a particle versus the sheet exceeds a threshold U, より詳細には、シートに対する粒子の相対運動エネルギーが敷居値Uを超えたとき、 the particle and sheet surmount the barrier and instantaneously pass unhampered (with unchanged velocities) through each other. 粒子とシートは障壁を乗り越えて、瞬間的に妨げられることなく(速度を変えずに)お互いを通過する Otherwise a perfectly reflecting collision (with rules dictated by conservation of energy and momentum) takes place. そうでなければ、完全弾性衝突(エネルギーと運動量の保存法則に従って)が行われる。 This semi-transmissive sheet also suggests an easy procedure to generate an asymmetry: この半透過シートから、非対称性を簡単に作り出すことができる: consider a second sheet at a rigidly fixed distance from the first one 2枚目のシートを1枚目から固定した距離に置く、 but characterized by a different threshold potential. ただし1枚目と2枚目とではポテンシャルの敷居値が異なっている。 We thus finally arrive at Lucifera illustrated in figure 2(a), かくして最終的にたどりついた「ルシフェラ」を図2(a)に描いた、 whose construction we now review. その造りを見直そう。 She consists of two parallel semi-transmissive sheets (total mass M) at a fixed distance d from each other, 「ルシフェラ」は2枚の平行な半透過シート(全質量M)から成り、その距離はdに固定されている、 which can freely move with a speed V along the horizontal x-axis. それらは水平なx軸に沿って速度Vで自由に移動できる。 Their joint motion is induced by collisions with a gas of hard discs そのつながったものの運動は引き起こされる、剛体円の気体との衝突によって (diameter σ = 1, mass m = 1, speed →v = (vx, vy), number of particles = N), (半径 σ = 1, 質量 m =1, 速度 →v = (vx, vy), 分子数 = N )、 which is enclosed in the same cylinder at equilibrium at temperature T = 1 その気体は温度 T= 1 と平衡な同じシリンダー内に同封されている (the Boltzmann constant is kB = 1 by an appropriate choice of the energy unit). (ボルツマン定数 kB = 1 となるように適当なエネルギーの単位を選んでいる)。 Boundary conditions are periodic at left and right and periodic or perfectly reflecting on top and bottom. 境界条件は、左右では周期的になっており、上下では完全に反射するか、周期的になっている。 Note that the system in its totality is isolated so that it would be more correct to refer to a microcanonical ensemble with a given total energy. システムは全体で孤立しているので、与えられた全エネルギーのミクロカノニカル集合体と見なされることに注意せよ。 However, in view of the large number of particles used in the simulations, しかし、シミュレーション内の粒子の膨大な数という点からすれば、 the velocity →v of each particle is in good approximation Maxwellian and the second moment can be used to identify a temperature mv^2/2 = kBT . 各粒子の速度 →v はマックスウェル分布のよい近似となっており、二次の運動は温度 mv^2/2 = kBT の識別に用いることができる。 The sheets of Lucifera undergo perfectly reflecting collisions with the hard disc 「ルシフェラ」のシートは剛体円と完全に反射を行う、 when the relative velocity of sheet and particle upon touching each other is below a specific threshold, シートと粒子が互いに接した際の相対速度が特定の敷居値よりも低かったとき、 while the particles move unhampered through the sheets when the relative velocity is higher than this threshold. 一方、粒子は制約を受けずにシートを通り抜けて運動する、相対速度が敷居値よりも高かったとき。 More precisely, the post-collisional velocities (indicated with primes) より正確には、衝突後の速度(プライム'で示される) are obtained in terms of the pre-collisional velocities on the basis of conservation of energy and momentum: は得られる、衝突前の速度からエネルギーと運動量の保存に基づいて: [* 式(1) *] This set of equations has two solutions. この式の組は2つの解を持つ。 The `trivial' one 「自明」な方は [* 式(2) *] which is chosen when the relative speed |V - vx| of particle and sheet moving towards each other, この解は、粒子とシートの相対速度 |V - vx| がお互いに向かって動いていて、 exceeds the threshold of the sheet. 敷居値を超えたときに選ばれる。 The other solution: もう1つの解は [* 式(3) *] corresponds to a perfect elastic collision and is selected when the relative speed is below the threshold. これは完全弾性衝突に対応し、相対速度が敷居値より低かったときに選ばれる。 We turn now to the result of the simulations. シミュレーションの結果に移ろう。 In figure 3(a), we show the average over 5000 trajectories of Lucifera's motion. 図3(a)に、「ルシフェラ」の5000本以上の軌跡の平均を示す。 One clearly notices a systematic net displacement of Lucifera to the left. 1つ明らかなことは、「ルシフェラ」のシステマチックな正味の変位が左に生じている。 So Lucifera is a genuine Maxwell demon: her motion is in violation of the second law! つまり「ルシフェラ」は本物のマックスウェルの悪魔だ: その動きは第二法則を破っている! Indeed the system considered here is an isolated equilibrium system and rectification of thermal fluctuations is impossible. 実際には、ここで考えたシステムは断熱系であり、熱揺らぎの整流は不可能だ。 If one were to attach a small load to Lucifera, she would be able to pull it up while cooling down the Enskog gas in which she lives. 小さな負荷を「ルシフェラ」にかければ、それを引き上げることはできないだろう、悪魔が生きられるようなエンスコッグ気体を冷却しなければ。 Another more appropriate way to state the inconsistency here is that Lucifera is violating detailed balance. 別の言い方でここで矛盾は、「ルシフェラ」は詳細釣り合いを破っている。 When the latter condition is satisfied, 後者の考察は満たされる、 any transition between two states is equally likely to occur in both directions, いかなる2状態間の遷移も双方向に等しい、 excluding the possibility of systematic biased motion. システム全体でのバイアスのかかった運動の可能性を除いて。 As expected, violation of the second law is flawed and related to a subtle mistake in the implementation of the collision rule, 期待されるように、第二法則の破れは、衝突ルールの不備やわかりにくい間違いなのである、 which is discussed in the next section. それについては次章で論じよう。 Fortunately, this very same mistake suggests a correction that will allow us to move beyond the limitations of Lucifera.幸いにもこれと同じ間違いが、「ルシフェラ」の限界を超えて動くことを我々に許すような訂正個所を示している。 ------------------------------------------------------------------------ 4. Angelina 「アングリナ」 Lucifera's motion originates from an erroneous prescription of the collision process 「ルシフェラ」の運動は、衝突プロセスの間違った処方箋に由来する、 when the relative speed of the disc with respect to the sheet exceeds the corresponding threshold. 剛体円のシートに対する相対速度が対応する敷居値を超えたときの。 The potential of interaction between disc and sheet operates when they touch each other. 円とシート間の相互作用のポテンシャルは、お互いが接触したときに作用する。 But this cannot be reconciled with the fact that the hard discs have a finite radius, しかしこれは剛体円は有限の半径を持つという事実と両立しない、 hence they do not cross the sheet instantaneously, even when the sheets are infinitesimally thin. つまり剛体円は一瞬でシートを通過するわけにはゆかない、たとえシートの厚みが極限まで薄かったとしても。 In fact, if the interaction potential is activated when the hard disc crosses the sheet, 実際、もし剛体円がシートを通過する際に相互作用ポテンシャルが活性化されるのであれば、 both the sheet and disc would have to slow down during this crossing since part of their kinetic energy is transformed into potential energy. シートと円の両方は通過の際に減速しなければならないだろう、運動エネルギーの一部がポテンシャルエネルギーに変換されながら。 This looks like a disaster from the point of view of the simulations これはシミュレーションの観点からするとやっかいなことに見える、 since taking into account finite potential energy more or less kills the efficiency of the code. 有限のポテンシャルエネルギーが多かれ少なかれコードの効果を損なうということを考慮すれば。 There is however a simple trick to circumvent the problem that will furthermore pave the way for the other models. しかしここに、問題を回避するシンプルなトリックがある、それはさらに別のモデルへの道を開く。 We can assume that the interaction of the sheet is only with the centre of the hard disc (see figure 2(a)). シートとの相互作用は剛体球の中心のみと行われるものと、我々は仮定することができる(図2(a)を見よ)。 Hence the centre of the particles either bounces back in a perfectly elastic instantaneous collision from the sheet below threshold, それゆえ粒子の中心は、敷居値より低いときシートから瞬間的な完全弾性衝突で跳ね返る、 or they cross the sheet, which is now also an instantaneous event, あるいはシートを通過する、今度の場合瞬間の出来事として、 when the relative speed exceeds the threshold. 相対速度が敷居値を超えていたときに。 Hence everything is again reduced to hard core collisions. それゆえ全ては再び剛体円の衝突へと切りつめられる。 The previously mentioned collision laws, equations (2) and (3), 前述の衝突の法則、式(2)と(3)は、 remain valid, but they are applied when the centre of the disc hits the sheet. 依然有効である、しかしそれらはシートに当たる際の円の中心に適用される。 To stress the distinction from the previous erroneous prescription of the collisions, 先の間違った衝突の規定との違いをはっきりさせるため、 the corrected form of Lucifera will be called Angelina, see figure 2(a). 「ルシフェラ」の修正を「アングリナ」と呼ぶことにしよう、図2(a)を見よ。 Turning to the simulations, we find that Angelina, even though she has a left-right asymmetry, シミュレーションに立ち返ると、この「アングリナ」からは、たとえ左右非対称であっても、 performs an unbiased motion in agreement with the property of detailed balance as shown in figure 3(a). バイアスのかかっていない運動が見出せる、それは詳細釣り合いの性質に見合っている、図3(a)に示すように。 For large enough times, the motion converges to plain Brownian motion. 充分長い時間に対して、運動は単なるブラウン運動に収束する。 Figure 3(b) shows that 図3(b)は次のことを示している、 the probability density for the displacement of Angelina after a long time interval (1000 and 4000 time steps) is clearly Gaussian within the numerical accuracy. 長時間経過後(1000〜4000ステップ)の「アングリナ」の変位の確率密度は、数値的な精度で明らかにガウス分布となっている。 The Gaussian spreads out further as time goes on. ガウス分布は時間の経過と共に広がってゆく。 We plot the mean-square displacement as a function of time in the left inset to figure 3(b). 図3(b)の左側に、時間に対する関数として2乗平均変位のプロットを入れた。 One clearly identifies a linear law = 2Dt with D the diffusion coefficient. 1つ明らかな指標は、線形法則 = 2Dt ということ、ここで D は拡散定数である。 We have also included in figure 3(b) the velocity autocorrelation function (right inset), 図3(b)には、速度の自動補正関数も含めてある(図の右側) whose decay is not exponential, そこでの減衰は指数的ではなく、 with an oscillatory long time tail probably induced by complicated hydrodynamic effects [23]. 振動しつつ長い余韻を引いている、おそらく複雑な流体力学の効果によって引き起こされたものだ。 ------------------------------------------------------------------------ 5. Motorina 「モータニア」 Angelina is clearly an asymmetric object when her two thresholds are not equal. 「アングリナ」は明らかに非対称なものだ、そこでの2つの敷居値は等しくない。 Nevertheless, she is, as we illustrated in the previous section, とはいうものの、それは前章で描き出したように、 a `boring' Brownian object when sitting in a system at equilibrium. 「つまらない」ブラウン運動する物体だった、平衡状態のシステムに置かれた。 No energy can be extracted from her. そこから何のエネルギーも引き出せない。 This is to be contrasted with the so-called Brownian motors, これは、いわゆるブラウン運動モーターに対比される、 where rectification is possible because they operate under a non-equilibrium constraint. そこでの整流は可能だ、なぜなら非平衡条件下にあるからだ。 To put Angelina in this new context, 「アングリナ」をこの新しい文脈に置くために、 we note that she could perform the role of the ratchet in the Feynman construction. それがファインマンの仕組みの役割を演ずることを覚えておこう。 In order to include a non-equilibrium component, 非平衡の部品を含むように、 we follow Feynman's idea and introduce a second reservoir at a different temperature. ファインマンのアイデアにならって、異なる温度に置かれた2個目の容器を導入しよう。 We attach to Angelina another semi-transparent sheet, rigidly linked to the previous body, 「アングリナ」にもう1枚の半透過性シートを取り付けよう、前述の本体にしっかりとつなげて、 but sitting in this second reservoir, see figure 2(b). しかしそれは2個目の容器の中にある、図2(b)を見よ。 To make the distinction with Angelina, we will refer to this new Brownian motor construction as Motorina. 「アングリナ」との違いを明確にするため、この新しく作ったブラウン運動モーターを「モータニア」ということにしよう。 In contrast to Angelina, we expect Motorina to be `alive'. 「アングリナ」と違って、「モータニア」は「生きる」と期待される。 She breaks, by construction, spatial left-right symmetry, それは、空間的な左右の対称性を破るように作られている、 while simultaneous contact with two reservoirs at different temperatures implies 温度の異なる2つの容器に同時に接触していることから、 that the more stringent symmetry of detailed balance, より厳しい詳細釣り合いの対称性があるだろう、 characteristic for an equilibrium system, is also broken. 平衡系を特徴付けており、また破られている。 This is precisely what is observed, as shown in figure 3(a). それは正確に観察されたものだ、図3(a)が示すように。 The resulting systematic speeds are unfortunately rather small, 結果的なシステムの速度は残念ながらかなり小さい、 so we have focused on a choice of thresholds that more or less optimizes the average speed. そこで我々は敷居値の選択に焦点をあてよう、そこでは平均速度の多少の最適化が為されている。 Apart from the important simplifications with respect to the Feynman construction, ファインマンの仕組みについての重要な単純化を別にして、 we note another essential difference. それ以外の本質的な違いに気を配ろう。 The momentum of the Feynman ratchet is not conserved along its rotational direction of motion, ファインマン・ラチェットの運動は、回転方向の運動を保存しない、 because the wall on which the spring is attached exchanges momentum with the motor. なぜならバネを取り付けた壁がモーターの運動量を変換するからだ。 Note that this is also the case in the standard models of Brownian motors, これはまたブラウン運動モーターの標準的な場合でも起こることに留意せよ、 in particular the flashing or rocking ratchet, in which a background potential is available, 特に流したり止めたりするラチェットは、そこでの背後のポテンシャルは有効なので、 with which momentum can be exchanged. 運動量は変換され得る。 In Motorina, we have neither background potential nor wall. 「モータニア」では、背後のポテンシャルも壁も必要ない。 Hence momentum along the horizontal x-axis is conserved, それゆえ水平なX軸に沿った運動量は保存される、 a feature which has a profound theoretical implication as we will discuss in more detail later. この特徴は奥深い理論的な意味を持つ、後ほど詳しく議論するように。 At this point, we mention another consequence of this feature, この点において、この特徴についてのいま1つの帰結に言及しよう、 namely that the observed systematic motion of Motorina must be compensated by a counter-motion of the gas in which she is embedded. すなわち「モータニア」に観察されるシステマティックな運動は、装置を取り囲む気体の反対の運動で補われなくてはならない。 In other words, the motor also operates as a pump. 言い換えれば、モーターはまたポンプとして働く。 ------------------------------------------------------------------------ 6. Arrowina 「アローニア」 Motorina is essentially a one-dimensional construction that is able to rectify thermal fluctuations. 「モータニア」は本質的に1次元の仕組みだった、それは熱揺らぎを整流する。 There are however two reasons why the model is not entirely satisfactory. しかしそれは2つの理由で完全に満足できない。 Firstly, the observed systematic motion is not easy to detect. 1つには、観測されるシステマティックな運動は簡単には取り出せない。 Even after optimization of the threshold values, たとえ敷居値を調整した後であっても、 one has to make an average over a large number of runs to filter out the strong underlying Brownian motion. 何度も(シミュレーションを)繰り返して平均をとらなければならない、ブラウン運動モーターに潜む性質を取り出すために。 Running for much longer times, instead of averaging, is not an alternative for another reason, より長い実行時間は、平均化の代わりに、別の理由で本質的ではない、 an issue to which we will also return in much more detail later on. 我々が後に詳しく立ち返ってくるような問題点として。 The single degree of freedom of Motorina established a thermal contact between the two reservoirs, 1自由度の「モータニア」は2つの容器の間での熱の受け渡しによって成り立っている、 so that, in the course of time, the temperatures in both reservoirs will eventually equalize, そのため、実行時間中、両方の容器の温度は偶然等しくなることがあり、 and the systematic motion will eventually disappear. システマティックな運動が偶然失われることがある。 This could be avoided by working with large reservoirs, an option which is however computationally very expensive. この現象は大きな容器を用意することで防げるのだが、その選択は計算を大変なものにする。 To summarize, the first main criticism of Motorina is that her systematic speed is too slow, 要するに、「モータニア」の第一の危機はシステマティックなスピードがあまりにも遅いことである、 in comparison to her thermal agitation. その熱動揺の大きさに比して。 The second problem is more poignant: 第2の問題はさらに痛い: we are not able to explain, even on an intuitive basis, the mechanism behind her systematic motion. 上手く説明できないのだが、直感的に言っても、そのメカニズムはシステマティックな運動に隠れてしまう。 We hence turn to another construction called Arrowina, かくして我々はもう1つの仕組み、「アローニア」というものを作った、 which is now rendered possible by the new prescription of collisions between sheets and discs. それは、シートと円の間の衝突について新しい規定を設けたことによって描き出された。 Corners need no longer to be avoided. これ以上回避されないために、角が必要となる。 As represented in figure 4, 図4に描いたように、 Arrowina consists of two rigidly linked small sheets, 「アローニア」は2つのしっかり結合した小さなシートから成る、 not covering the entire width of the system and no longer semi-transparent for the discs. システムの全体の幅をカバーしてはいない、そしてもはや円に対して半透過性ではない。 They move together as a single entity with a single degree of freedom corresponding to a motion along the x-axis. それらは共に1自由度の構造物である、X軸方向の運動に対応して。 One sheet, which we will call the paddle, is perpendicular to the x-direction, 我々が「パドル」と呼んでいる1つのシートは、X方向に対して垂直であり、 while the other one, which we will call the ratchet, makes an angle θ with the horizontal. もう1つの、我々が「ラチェット」と呼んでいるシートは、水平から角度 θ に置かれている。 The sheets sit in two different reservoirs, 2つのシートは2つの異なる容器に置かれており、 and collide with the centre of hard discs, which are prepared in each reservoir in an equilibrium state, そして円の中心と衝突する、それらの円は各々の容器で平衡状態にあるのだが、 but possibly at a different temperature. 各容器の温度は異なっている。 The boundary conditions are periodic left and right, そこでの境界条件は、左右では周期的であり、 but, and this is essential, perfectly reflecting up and down. しかし、本質的なことだが、上下では完全に(損失なく)反射する。 The ratchet sheet glides along the sidewalls. ラチェット・シートは、側壁に沿ってすべる。 The idea is that, when θ ≠ π/2, it acts as a ratchet hampering her own motion by trapping particles, このアイデアは、θ ≠ π/2 のとき、それはラチェットとして働く、粒子を捉えて仕組み自体の運動を妨げながら、 see inset to figure 4. 図4の中で示したように。 Its asymmetry combined with a temperature difference is expected to generate motion. その温度差と結びついた非対称性は、運動を生じるものと期待される。 Since the asymmetry can now be tuned, we expect higher systematic speeds. 非対称性を変えられるからには、より高いシステマティックなスピードが期待できる。 This expectation is borne out by the numerical experiments, see figure 5. この期待は数値実験によって支えられた、図5を見よ。 Note in particular that high speeds require a very strong asymmetry with θ close to 0° 特記すべきは、高速には θがほとんど 0°に近い、とても強い非対称性を必要とする、 and at the same time rather high densities of the gas. そして同時に気体がかなり高濃度であることも。 While the systematic motion of Arrowina is very pronounced for certain values of the parameters, 「アローニア」のシステマティックな運動が、特定のパラメーター値にとても顕著に依存する一方、 she still suffers from the same predicament as Motorina: この仕組みは「モータニア」と同じ悩みを抱えている: we do not have a clear understanding of the rectification mechanism. 我々ははっきりと整流のメカニズムをわかっているわけではない。 It is true that 次のことは正しい、 the motion of Arrowina in a gas at high density is in agreement with our macroscopic intuition, 高濃度のガス内での「アローニア」の運動は、我々のマクロな直感に一致する、 see inset to figure 4. 図4の中で示すように。 When the temperature is high in the paddle reservoir, 「パドル」側の容器の温度が高いとき、 she moves in the direction of `least friction', この仕組みは「まさつの小さい方」に動く、 namely the one in which the ratchet-sheet does not trap particles. はっきり、ラチェット・シートが粒子を捉えない一方向に。 Unfortunately, this argument is misleading and unreliable. 不幸なことに、この議論は誤解されやすく、信頼できない。 As we will show next, 次章で示すように、 the models that are discussed here lie outside the realm of linear irreversible thermodynamics and macroscopic intuition cannot be relied on. ここで議論したモデルは線形非可逆な熱力学の範囲外に置かれており、マクロな直感には頼れない。 In the case of Arrowina and Motorina, 「アローニア」と「モータニア」の場合、 the explanation is furthermore complicated by the fact that correlations involving recollisions, 説明はより一層込み入っている、ある衝突が再び衝突することがあるために、 in particular those of the gas particles trapped between the ratchet and the boundary, 特に気体粒子がラチェットと境界の間に入ったとき、 presumably play a dominant role. おそらく主要な役割を演じている。 Avoiding the effect of recollisions is clearly an important requirement 再衝突の効果を避けるのは明らかに重要な要求である、 if one is to hope for an exact theoretical analysis. もし正確な理論解析を望むのであれば。 ------------------------------------------------------------------------ 7. Triangula and Triangulita 「トライアングラ&トライアングリータ」 In our search for a model that can be solved analytically, 解析的に解けるモデルを研究する中で、 we note that many of the exactly solvable models in statistical mechanics involve dilute ideal gases. 多くの正確に解ける静的な機構のモデルが希薄な理想気体を内包することに、我々は気付いた。 In the context of our present discussion, これまでの議論の文脈から、 the appropriate limit would be to consider the case in which the density of the hard disc gases becomes very low and the reservoirs very large 適切な制限が考えられる、剛体円気体の密度が非常に低く、容器はとても大きいといったような、 so that one effectively reaches the limit of an ideal gas. それが効果的に理想気体の制限に達するように。 But if we want to invoke the simplicity of the molecular chaos hypothesis, しかし、もし分子カオス仮説の単純さを思い起こそうと望むなら、 we also need to avoid recollisions of gas particles with the motor units. 我々は気体粒子とモーター部品の再衝突を回避する必要がある。 This can only be guaranteed when units are convex. これは、ただ部品を凸多角形にすることによって保証される。 This implies that our units cannot be flat, このことは部品が平らではあり得ないことを意味するが、 but need to have an inner core surrounded by a closed convex shell. 必ずしも内側の核が閉じた凸多角形の殻に囲まれることを意味しない。 One of the simplest asymmetric convex objects is a triangle. 1つの単純な非対称の凸な物体は三角形だ。 Hence we are led to the construction schematically represented in figure 6(a). かくして、我々は図6(a)に示すような仕組みを導き出した。 We will call this motor Triangula. 我々はこのモーターを「トライアングラ」と名付けた。 It consists of two rigidly linked triangular units moving as a whole along the horizontal x-axis. それは2つのしっかりとつながった三角形の部品から成り、全体が水平なX軸に沿って動く。 Each unit sits in a separate infinitely large reservoir containing an ideal gas. それぞれの部品は分離した無限大の容器に置かれており、(容器は)理想気体で満たされている。 When the temperatures in the two reservoirs are different, 2つの容器の温度は異なっているので、 we have the ingredients of a Brownian motor and we expect the appearance of a systematic motion. このブラウン運動モーターの構成材料を持って、システマティックな運動の出現が期待できる。 Because Triangula has the additional symmetry that the units have the same shape in both reservoirs, 「トライアングラ」が、両方の容器内の部品が同じ形であるというさらなる対称性を持つため、 we will also study the motor consisting of a triangular unit in one reservoir and a flat sheet in the other as depicted in figure 6(b), 我々はさらに、一方の容器の部品が三角形で、もう一方の容器の部品が平らなシートであるような、図6(b)に示すモーターを研究した、 referred to as Triangulita. これを「トライアングリータ」と呼ぶ。 As far as the molecular dynamics simulation is concerned, 分子動力学シミュレーションに関する制限より、 we obviously work with reservoirs that are relatively large but of finite size. 我々は明らかに、比較的大きいが有限なサイズの容器を用いることになる。 For comparison with the theory given below, 以下で与える理論との比較のため、 we will focus on the low-density case, but we will, for reasons of obvious interest, 我々は低密度のケースに焦点を当てる、しかし明らかな興味のために、 also explore the behaviour at higher density. 高密度の振る舞いも探索する。 Before doing so, we turn to one of the major achievements, そうする前に、1つの主要な成果に立ち戻ろう、 namely the presentation of a microscopically exact analysis of Triangula and Triangulita. 「トライアングラ」と「トライアングリータ」の、マクロな正確な解析をはっきりと示す。 ------------------------------------------------------------------------ 8. Expansion of the Boltzmann equation ボルツマン方程式の拡張 Let us first repeat the basic idea. 最初に基本的なアイデアを繰り返そう。 The motor consists of two or more units that move as a rigidly linked whole along a specified direction x with speed V. モーターは2ないしそれ以上の部品から構成されており、それらはしっかりと、特定の方向xに速度Vで結合されている。 The units are all convex and reside in different infinitely large compartments i, 部品は全て凸多角形で、それぞれ異なる無限に大きな区画iに在る、 filled with ideal gases at equilibrium within each compartment, それぞれの区画は平衡な理想気体で満たされている、 with particle mass m, density ρi and Maxwellian velocity distribution Φi at temperature Ti: そこでの粒子の質量はm、密度はρi 、温度Tiにおけるマックスウェルの速度分布を Φi とする: [* 式(4) *] Due to the absence of any pre-collisional correlations between the speed V of the motor and that of the impinging particles, モーターの速度Vとの前-衝突の係数の欠如のため、そして衝突した粒子のため、 the probability density P(V, t) for the speed →V=(V,0) obeys a Boltzmann-Master equation [24]: 速度 →V=(V,0) の確率密度 P(V, t) はボルツマンのマスター方程式に従う: [* 式(5) *] W(V|V') is the transition probability per unit time for the motor to change speed from V' to V W(V|V') は、単位時間あたりにモーターが速度V'からVに変化する遷移確率である、 due to the collisions with gas particles in the compartments. 区画内の気体粒子の衝突による。 To proceed, the explicit expression of the transition probabilities needs to be specified. されに、遷移確率の明確な表現を定めなければならない。 This will require a few steps of preparation. そのためには幾らかの準備が必要となる。 Firstly, the shape of the closed convex motor unit in reservoir i can be defined by the normalized probability density Fi(θ) 最初に、容器i中の閉じた凸多角形のモーター部品の形状は、標準化された確率密度 Fi(θ) によって定義される、 such that Fi(θ) dθ is the fraction of its outer surface that has a tangent between θ and θ + dθ そこで Fi(θ) dθ は、タンジェントθ から θ + dθ の間にある外表面の小区画である、 as presented in figure 7. 図7に示すように。 The angle θ is measured counter-clockwise from the horizontal x-direction. 角度θは、水平なX方向から反時計回りに測定される。 The perimeter will be denoted by Si. パラメーターは Si で表される。 Note that = = 0, where the average is with respect to Fi(θ), = = 0 であることに注意せよ、そこでの平均は Fi(θ) について、 a property resulting from the requirement that the object is closed. その物体が閉じているという要請の結果としての性質である。 In the case of Triangula, the shape functions F1 and F2 are the same in both compartments. 「トライアングラ」の場合、形状の関数F1とF2は、両方の容器で同じである。 Furthermore, θ can only take three values, corresponding to the angles formed by the three sides of the triangle, さらに、三角形の3つの側面の角度に対応して、θ は3つの値を取り得るだけである、 namely θ0, π - θ0 and 3π/2. つまり、θ0、π - θ0、3π/2 である。 Taking into account the relative length of each of the sides versus the perimeter, one finds: それぞれの側面と周囲との相対的な長さを考慮すれば、 [* 式(6) *] Consider now the collision between a gas particle (pre-collisional velocity →V'=(Vx', Vy')) and the motor, 気体粒子(衝突前の速度→V'=(Vx', Vy'))とモーターの衝突を考えてみよう、 with pre-collisional velocity →V'=(V',0), 衝突前の速度を →V'=(V',0) として、 at a location of the surface of one of the units with orientation θ. θの方向に位置する表面の一部分において。 The normal and tangential vector to this section are →e⊥=(sinθ, -cosθ) and →e‖=(cosθ, sinθ) respectively, この部分における法線とタンジェントベクトルはそれぞれ、→e⊥=(sinθ, -cosθ) と →e‖=(cosθ, sinθ) となる、 see figure 7. 図7を見よ。 To find the post-collisional velocities, 衝突後の速度を見出すために、 we note that the total energy and momentum in the x-direction are conserved X方向の全エネルギーと運動量が保存されることに留意する。 (the binding force that keeps the motor on its track parallel to the x-direction is orthogonal to this direction, モーターをX方向と平行な軌道に留め置く拘束力は、この方向に直交する、 hence it performs no work and it does not affect the momentum in the x-direction): かくしてその拘束力は何も働かず、X方向の運動に影響を与えない: [* 式(7) *] Furthermore, we assume that the interaction is due to a (short-range) central force, さらに、我々は相互作用が(短い範囲での)中心力によるものと仮定した、 implying that the motor exerts no force on the impinging particle in the direction parallel to its surface. それは、モーターが、表面と平行な方向に衝突する粒子には何の力も及ぼさないということだ。 Hence the component of the momentum of the gas particle along the contact surface of the object is also conserved: かくして、物体の接触面に沿う、気体粒子の運動の一部もまた保存される: [* 式(8) *] This yields for the post-collisional velocities: ここから衝突後の速度が求まる: [* 式(9) *] The final step consists in estimating the frequency for all possible types of collisions. 最後の段階は、起こり得る全ての衝突の頻度を見積もることだ。 This can be done following the usual procedure familiar from kinetic theory. これは、次のような運動力学でおなじみの方法によって為され得る。 We consider one specific type of event, 我々は1つの特定のタイプのイベントを考えた、 namely collisions with initial speeds in a volume d→v' centred on →v', 初期速度が大きさ d→v' で →v' の中心線上にあるような衝突、 hitting the motor with pre-collisional speed →V' on a section of length dl with orientation θ during a short time interval dt. モーターを衝突前の速度 →V'、衝突部分の長さ dl 、角度θ、短い時間 dt 内でたたく。 The average number of such collisions is equal to the average number of particles within the specified speed range そのような衝突の平均値は、特定の速度領域にある粒子の平均数に等しい、 in a rectangle with basis dl and height (→V' - →v')・^e⊥ dt, 底辺が dl で 高さが (→V' - →v')・^e⊥ dt の矩形の中にある、 namely ρi φi(vx', vy') (→V' - →v')・^e⊥ d→v dl dt. 即ち ρi φi(vx', vy') (→V' - →v')・^e⊥ d→v dl dt 。 Furthermore, since the pre-collisional relative speed must be positive, さらに、衝突前の相対速度はプラスでなければならないので、 we have the additional condition (→V' - →v')・^e⊥ > 0. 条件を追加する、(→V' - →v')・^e⊥ > 0 。 By integrating over all velocity components, 次の全てを積分することによって、速度の部分、 perimeter, compartments and switching to the angular variable by dl = SiFi(θ)dθ, 周囲の長さ、区画、dl = SiFi(θ)dθ による角度の変数の切り替え、 one obtains the total transition probability per unit time: 単位時間における全ての遷移確率が得られる: [* 式(10) *] where Θ is the Heaviside step function. ここで Θ はヘビサイドの階段関数である。 The δ function in equation (10) selects appropriate particle velocities yielding, (10) の δ関数は、適切な粒子速度の収量を選択する、 according to equation (9), the post-collisional speed V for the motor. (9) に従って、衝突後のモーターの速度Vである。 For the ensuing calculation, it is advantageous to introduce the transition probability W(V';r) = W(V|V'), 次の計算により、遷移確率 W(V';r) = W(V|V') 導入することは都合がよい、 defined in terms of the jump amplitude r = V - V'. ジャンプの角度 r = V - V' の点から定義された。 One can then rewrite the Boltzmann equation as follows: ボルツマン方程式は次のように書き換えられる: [* 式(11) *] An exact solution of the Boltzmann-Master equation is out of the question, even at the steady state. ボルツマンのマスター方程式の正確な解は問題にならない(とても解けない)、たとえ定常状態であっても。 To make progress, a perturbative solution is necessary. 先に進むには、摂動解が必要だ。 Since we expect that the rectification disappears in the limit of a macroscopic motor, マクロなモーターの制限下では整流が消えると期待されるので、 a natural expansion parameter is the ratio of the mass m of the gas particle over the mass M of the object. 自然展開パラメーターは、(気体粒子の質量m) / (物体M) という比率である。 More precisely, we will use ε= √(m/M) as the expansion parameter. より正確には、我々は ε= √(m/M) を展開パラメーターに用いた。 Note however that the parameter M will also appear implicitly in the speed V. しかし、パラメーターM は速度V の中にも暗に含まれていることに注意。 Indeed, we expect that the object will, in the stationary regime, 実際、我々は次のように期待する、物体が静的な型にはまっているとき、 exhibit thermal fluctuations at an effective temperature Teff, i.e., 1/2 M = 1/2 kB Teff. 実効温度Teffにおける熱揺らぎは、すなわち、1/2 M = 1/2 kB Teff 。 To take this into account, we switch to a dimensionless variable x of order 1: このことを勘定に入れて、我々はオーダー1の無次元の変数xを次のように変えた: [* 式(12) *] The effective temperature will be determined by the self-consistent condition = 1. 実効温度は決定される、 = 1 という自ら決定した条件によって。 The Taylor expansion of the r.h.s. of the Boltzmann equation (11) ボルツマン方程式(11) の r.h.s. のテーラー展開は、 with respect to the jump amplitude leads to an equivalent expression under the form of the Kramers-Moyal expansion: ジャンプの角度に関して、Kramers-Moyal展開の式として等価な表現を導き出す: [* 式(13) *] with rescaled jump moments, An(x), defined as ここでジャンプの運動 An(x) は、次のように定義される [* 式(14) *] Equivalently, and of more interest to us, 同じ事だが、そして我々にとってさらに興味深いことに、 the following set of coupled equations determine the moments = ∫X^n P(x,t) dx : 以下の一連の方程式は運動量 = ∫X^n P(x,t) dx を決定する: [* 式(15) *] [* 式(16) *] The exact solution of this coupled set of equations is as hopeless and equally difficult as the full Boltzmann-Master equation. この一連方程式の正確な解は、完全なボルツマンのマスター方程式と同じくらい望み薄だ。 However, a Taylor expansion in ε shows that しかし、εのテイラー展開は次のことを示している、 the equations are no longer fully coupled and the calculation of a moment up to a finite order in the stationary regime reduces, この方程式はもはや完全には組になっておらず、静的な型にはまっているときの有限オーダーでの運動の計算は、 in principle, to a simple (but in practice tedious) algebraic problem. 原理的に、シンプルな(しかし行うと面倒な)代数の問題となる。 Turning to the specific case of Triangula, 「トライアングラ」の特定のケースに立ち返ると、 we first note that the integrals over the angle and speed in the transition probability can be easily performed explicitly, 最初に注意したように、遷移確率の角度と速度の積分は、はっきりと容易に実行できて、 with the result: その結果は: [* 式(17) *] Hence, the following series expansion in ε is obtained for the two lowest jump moments: それゆえ、次の一連のεの展開は、2つの最も低いジャンプ運動として得られる: [* 式(18) *] [* 式(19) *] From equation (18), together with equation (15), 式(18)と、式(15)を合わせて、 we immediately recognize that, to lowest order in ε, the first and second moment are decoupled. 直ちに次のことがわかる、εの最低オーダーとして、1番目と2番目の運動は分離している。 Furthermore, the first moment equation reduces to a linear relaxation law, さらに、1番目の運動方程式は線形緩和法則として減少するので、 which, written in the original variable, reads M ∂t = - γ, with それは、M ∂t = - γ より導かれた独自の変数によって、こうなる [* 式(20) *] At this level of the perturbation, the steady-state speed of the object is obviously zero. このレベルの摂動では、定常状態の物体の速度は明らかにゼロである。 We conclude that no rectification takes place in the regime of linear response. 線形応答の体制下では、いかなる整流効果も実施されない、と結論付けられる。 Turning to the second moment, 2番目の運動に移って、 we note that the effective temperature Teff follows from the self-consistent steady-state condition = 1. 実行温度Teffは、自ら定めた定常状態の条件 = 1 に従うことにしていた。 This implies, at this lowest order in ε, see equations (16) and (19), that このことは、εの最低位のオーダーは、式(16)と(19)を見れば、このようになる [* 式(21) *] At the next order of perturbation in √(m/M), √(m/M)の次のオーダーの摂動は、 noise and non-linearity become intertwined, ノイズと非線形が絡み合ってくるので、 while at the same time the Gaussian nature of the white noise is lost, 同時にガウス分布の性質を持つホワイトノイズが失われるので、 a feature well known from the Van Kampen 1/Ω expansion [25]. ここでの特徴はよく知られた Van Kampen 1/Ω 展開となる。 At this order, the equation for the average velocity is coupled to the second moment. このオーダーでは、平均速度の式は2番目の運動に結びついている。 Inserting = 1 into equations (15) and (18) and returning to the original variable V, 式(15)と(18)に = 1 を代入して、もとの値V に戻せば、 one readily finds at the steady state: 定常状態を導き出せる: [* 式(22) *] This speed vanishes in the `macroscopic' limit M → ∞ as 〜 1/M. この速度は「マクロな」極限 M → ∞、 〜 1/M のときに消失する。 The fact that the combination of both asymmetry and temperature gradient is required to generate systematic motion 非対称性と温度勾配の結合がシステマティックな運動を生み出すのに必要だ、という事実は、 is also contained in equation (22). やはり式(22)の中に含まれている。 If either T1 = T2 or θ0 = π/2 (the triangle becomes a bar and thus the asymmetry disappears), もし T1 = T2 であるか、θ0 = π/2 であったなら(三角形は一本の棒となり、非対称性は失なわれる) the average velocity vanishes. 平均速度は消失する。 We furthermore observe from equation (22) that the speed of Triangula depends on the densities by their ratio ρ1/ρ2, さらに式(22)を見ると、「トライアングラ」のスピードは密度の比 ρ1/ρ2 に依存する、 with a maximum at ρ1/ρ2 = √(T2/T1) . 最大で ρ1/ρ2 = √(T2/T1) となる。 We turn now to our other model called Triangulita, see figure 6(b). さて我々は次のモデル「トライアングリータ」に移ろう、図6(b)を見よ。 The vertical bar in one reservoir mimics the blades in the original Feynman construction, 容器内の縦の棒は、オリジナルのファインマンの仕組みの羽を真似している、 while the triangle in the other reservoir is the asymmetric object replacing the needlessly complicated construction of the ratchet with pawl. もう一方の容器内の三角形が非対称な物体である、必要以上に複雑な仕組みであるラチェットと歯止めの代替物として。 Following a similar calculation, the drift speed of Triangulita to lowest order in ε is found to be 以下の似たような計算で、「トライアングリータ」の横滑りのスピードはεの最低位のオーダーとして、次のように見出される [* 式(23) *] At first, this result appears to be similar to the one for Triangula. まず、この結果は「トライアングラ」のものに似ている。 But the behaviour is very distinct with respect to the applied temperature difference. しかし振る舞いはとても異なっている、与えられた温度差に関しての。 In fact, Triangulita has the more familiar behaviour: 実際、「トライアングリータ」はよりなじみ深い振る舞いを見せる: the direction of the net motion reverses when the temperature difference changes sign. 温度差の符号を反転すると、運動の方向も逆転する。 In other words, equilibrium (the state with equal temperatures) is a point of flux reversal. 言い換えれば、平衡(温度が等しい状態)は不安定な反転ポイントとなっている。 Triangula behaves in a different way: 「トライアングラ」の振る舞いは異なっている: its speed exhibits a parabolic minimum as a function of the temperature, with zero speed at equilibrium. そのスピードは温度の関数として放物型の最小値となっている、平衡点でスピードゼロとなる。 This peculiar behaviour originates from the permutational symmetry of the identical motor units, この癖のある振る舞いは、肝心なモーター部品の置換対称性に由来する、 implying that the speed must be invariant under the interchange of T1, ρ1 with T2, ρ2. このことから、T1, ρ1 と T2, ρ2 の交換でスピードが不変でなければならないことが示唆される。 We finally note that one can, in both models, 最後に我々は指摘する、両方のモデルについて、 increase the asymmetry of the triangular unit(s) to generate a maximum drift speed. 三角形部品の非対称性の増加は、横滑りのスピードの最大値を与えることを。 This maximum is reached in the limit θ0 → 0 of (an) infinitely elongated and sharp triangle(s). その最大値は、無限に引き延ばしてとがった三角形の、θ0 → 0 の極限で達成する。 ------------------------------------------------------------------------ 9. Molecular dynamics versus theory 分子動力学vs理論 We are now ready for the crucial test, さて我々は、重大なテストを行う準備が整った、 namely a direct confrontation between theory and molecular dynamics for Triangula and Triangulita. 「トライアングラ」と「トライアングリータ」での、分子動力学と理論の直接対決という。 To do so, we consider low densities, ρ approx 0.0022, そのため、我々は低い密度、ρが約0.0022のときを考えた、 such that the Enskog gases have in good approximation the properties of dilute gases [26]. そこではエンスコッグ気体が希薄な気体の性質のよい近似となっている。 We start by checking the properties of Triangula at equilibrium, T1 = T2. 「トライアングラ」が平衡 T1 = T2 にあるときのチェックから始めよう。 In agreement with the theory and the general principles of statistical mechanics and thermodynamics, 理論との一致と、熱力学の統計的メカニズムの一般的な原理から、 Triangula does not develop any systematic speed. 「トライアングラ」はシステマティックなスピードでは動かない。 On a not too short time scale, her motion converges to plain Brownian motion. さほど短くないタイムスケールで、この仕組みの動きは単なるブラウン運動に収束する。 As shown in figure 8, 図8に示したように、 the probability density for her displacement after a sufficiently long time interval (1000 and 4000 time steps) is clearly Gaussian within the numerical accuracy. 十分長い時間(1000〜4000タイムステップ)の後、変位の確率密度は明らかに、数値的な精度でガウス分布となっている。 The Gaussian spreads out further as time goes on. ガウス分布は時間とともに広がってゆく。 We plot the mean square displacement as a function of time in the left inset to figure 8. 時間の関数としての二乗平均変位を、図8の左隅にプロットした。 One clearly identifies a linear law = 2Dt with D = 19.81 the diffusion coefficient. 線形法則 = 2Dt が見出される、ここで D = 19.81 は拡散係数である。 We have also included in figure 8 the velocity autocorrelation function (right inset), 我々は図8に速度の自己相関関数(右隅)を含めた、 whose decay is almost perfectly exponential, with time constant (γ/M) - 1 = 200.80, そこでの減衰はほぼ完全な指数となっていて、時係数は (γ/M) - 1 = 200.80 である、 hence (M = 10) the linear friction coefficient is γ = 4.98 x 10^-2, かくして (M = 10) 線形摩擦係数は γ = 4.98 x 10^-2 となり、 in good agreement with the theoretical prediction, see equation (20): γ = 5.04 x10^-2. 理論的な予測とよく一致する、式(20)を見よ、γ = 5.04 x10^-2 。 Note that the observed values of γ and D are consistent with the Einstein relation: γ と D の観測値は、アインシュタインの関係と一致している: [* 式(24) *] Turning to the non-equilibrium situation, 非平衡のシミュレーションに移って、 a collection of results, including the theoretical predictions of (22) and (23), (22)と(23)の理論的な予測を含む一連の結果と、 and results from molecular dynamics simulations are summarized in figure 9. 分子動力学シミュレーションの結果は図9に要約されている。 The agreement is quite spectacular, この一致はとても見事だ、 especially taking into account that (a) there are no free adjustable parameters, 特に(a)を考慮すれば、もはや調整すべきパラメーターは無い、 (b) the theoretical result is the first term in a perturbation expansion in √(m/M), (b) 理論的な結果は、√(m/M)を展開した摂動の初項である、 (c) for the system size that is used, (c) 用いられたシステムサイズについて、 we expect significant finite-size effects 我々は、有限の大きさからくる顕著な効果を期待する。 (particles and in particular sound waves can easily travel around the system and reimpact on the motor). (粒子や、特に音波は簡単にシステムを巡回し、再びモーターにインパクトを与える)。 A similar agreement is found for the other model Triangulita. 同様の一致が、もう1つのモデル「トライアングリータ」にも見られる。 We have thus attained our primary goal, かくして最初のゴールに達したようだ、 namely the introduction of a microscopic model for a Brownian motor マクロなブラウン運動モーターモデルの導入、 that can be analysed in full analytic detail with results それは詳細な結果とともに、完全に解析できるものである、 in agreement with a very precise molecular dynamics simulation. とても正確な分子動力学シミュレーションに一致するような。 It vindicates the absence of rectification in equilibrium それは平衡における整流の欠如という疑問をとりはらい、 and gives a detailed insight into how the rectified fluctuations result in systematic speed 詳細な洞察を与える、どのようにして整流されたゆらぎの結果がシステマティックなスピードとなるか、 when a temperature gradient is applied. 温度勾配が適用されたとき。 In figure 10 we have represented the tracks of various motors under other circumstances. 図10に、他の状況下での様々なモーターの軌跡を表しておいた。 In particular, one finds for Triangula and Triangulita that the speed does not depend strongly on the densities. 特に、「トライアングラ」と「トライアングリータ」のスピードは密度に全く依存していない。 Note however the difference in scaling on both axes: しかし、両者の軸のスケールの違いに注意せよ: the reason is that the systematic motion, while of the same order of magnitude, その理由は、システマティックな運動は、同じオーダーの拡大率だと、 is not sustained very long in the denser system. より濃度の高いシステムではそれほど長く維持できないからだ。 The reason is that the motor units have in this case a high thermal conductivity その理由は、モーター部品がこの場合高い熱伝導率を持つので、 so that the system relaxes back to full equilibrium on a much shorter time scale; システムがより短いタイムスケールで完全な平衡に緩和するからだ; see also the discussion in section 11. セクション11の議論も参照のこと。 ------------------------------------------------------------------------ 10. Results for a general convex shape 一般的な凸多角形の結果 The above calculation can be repeated for a motor consisting of N rigidly linked closed and convex units, 上記の計算は、N個のしっかりと結合した閉じた凸多角形部品に適用できる、 each residing in a separate reservoir filled with gas particles at density ρi and temperature Ti, それぞれの部品は分離した容器に入っている、密度ρi 、温度 Ti の気体粒子で満たされた、 see [27] for the details. 詳しくは文献[27]を見よ。 One again finds that to lowest order in the perturbation in ε, εの最低位の摂動をふたたび見出すことで、 the Boltzmann equation reduces to a linear Langevin description, M∂t = - γ with γ = Σi γi . ボルツマン方程式は、線形ランジュバン記述に簡約化される、M∂t = - γ with γ = Σi γi 。 Here, γi is the linear friction coefficient of the motor unit sitting in gas mixture i: ここで γi は、気体i に置かれたモーター部品の線形摩擦係数である。 [* 式(25) *] At this order of perturbation, the velocity distribution of the motor is Maxwellian, at the effective temperature: この摂動のオーダーでは、モーターの速度分布はマックスウェル型であり、実効温度は: [* 式(26) *] At the next order in the series expansion, one observes that the motor develops a steady-state velocity, namely: 一連の展開での次のオーダーでは、モーターは定常的な速度を生み出すことが観察される、それは: [* 式(27) *] This speed is of the order of the thermal speed of the motor, times the expansion parameter √(m/M), このスピードは、モーターの熱的なスピードのオーダーで、展開パラメーター√(m/M)倍になっており、 and further multiplied by a factor that depends on the details of the construction. そしてさらに、仕組みの詳細に依存する要因によって拡大される。 Note that the speed is scale-independent, i.e., スピードはスケールに依存しないことに注意、すなわち、 independent of the actual size of the motor units: モーター部品の実際の大きさに依存しない: is invariant under the rescaling Si to CSi (without changing the mass of the motor). は不変である、Si を CSi にサイズ変更しても(モーターの質量を変化させずに)。 To isolate more clearly the effect of the asymmetry of the motor on its speed, そのスピードにおけるモーターの非対称性効果をはっきりと取り出すために、 we focus on the case where the units have the same shape in all compartments, 我々は、全ての容器内の部品が同じ形をしている場合に的をしぼった、 i.e. Fi(θ) ≡ F(θ) and Si ≡ S. One finds: すなわち、Fi(θ) ≡ F(θ) 、そして Si ≡ S 。次式が見出せる: [* 式(28) *] [* 式(29) *] In this case, この場合、 Teff is independent of F(θ) and the drift velocity is proportional to /, Teff は F(θ) から独立で、横滑り速度は / に比例する、 with the average defined with respect to F(θ). F(θ) について定義された平均で。 Since |sin3θ| <= sin2θ, the latter ratio is in absolute value always smaller than 1. |sin3θ| <= sin2θ なのだから、後者の割合は絶対値で常に1より小さい。 This limiting value is reached for objects with no special shape requirements, この制限された値は、何ら特別な形を要求しない物体に及ぶ、 except the condition of `extreme' asymmetry. 「極端に」非対称なものを除いて。 For example, this limit is, as discussed before, attained for Triangula when θ0 → 0. 例えば、この制限は、前に議論したように、「トライアングラ」が θ0 → 0 に達したときなど。 The resulting speed is then very large, i.e., comparable to the thermal speed. 結果のスピードはそこではとても大きい、すなわち、熱的スピードに比較し得る。 Turning to the complementary question, we wonder what kind of shapes give rise to a small speed. 相補的な質問に移ろう、どのような種類の形が小さなスピードを上げるだろうか。 In particular, we establish the condition for the speed given in equation (29) to be equal to zero. 特に、我々は確立した、式(29)で与えられたスピードをゼロにするような条件を。 We expand the form factor F(θ), with θ ∈ [0, 2π] in terms of a Fourier series: 我々は因子 F(θ) を θ ∈ [0, 2π] の区間でフーリエ展開した: [* 式(30) *] [* 式(31) *] [* 式(32) *] The requirement that the object must be closed implies that = = 0, ここでの要求は、物体は閉じていなければならない、つまり = = 0 ということである、 or equivalently, a1 = b1 = 0. あるいは同じことだが、a1 = b1 = 0 ということだ。 Hence the condition of lowest order speed given in equation (29) to be equal to zero, そうして、式(29)で与えられる最低位のスピードの条件は、ゼロと等しくなるはずだ、 namely = 0, is equivalent to b3 = 0 for any closed convex object. 特に = 0 となり、いかなる閉じた凸多角形の物体でも b3 = 0 に同じだ。 Note that such objects need not be symmetric. そのような物体は必ずしも対称でなくてもよい。 Two examples are depicted in figures 11(a) and (b). 2つの例を図11(a)と(b)に描いた。 Note also that the above condition b3 = 0 is in general no longer satisfied when one rotates the units of the motor. 上の b3 = 0 の条件は、一般的にはもはや満たされない、モーターの部品を回したら。 We next turn to objects for which the systematic speed is exactly zero, 我々は次に物体を変えてみよう、それはシステマティックなスピードを正確に0にするような、 at all orders of perturbation, on the basis of symmetry arguments. 全ての摂動オーダーにおいて、対称な根拠に基づいて。 Obviously, a motor consisting of symmetric units, 明らかに、対称な部品からできているモーターは、 i.e., invariant under a reflection about the y-axis, つまり、y軸の整流下で不変なものは、 orthogonal on the x-direction, cannot develop a systematic speed. x方向に直交し、システマティックなスピードを生むことができない。 For these objects, F is an even function, F(θ) = F(2π - θ) = F(-θ) and consequently bn = 0, ∀n. このような物体において、Fは偶関数、F(θ) = F(2π - θ) = F(-θ) であり、その結果全てのnについて bn = 0 となる。 Note again that this property is not necessarily preserved upon rotation of the units. 再度記すのだが、この性質は必ずしも保存されない、部品が回転した場合。 Going one step further, 一歩先に進んで、 we identify shapes for which no net motion can be generated even upon rotation of the units. 我々は特定の形状を認める、それはいかなる運動も生じない、たとえ部品が回転したとしても。 The key is to consider motor units which are invariant under a rotation by 180°. 鍵となるのは、180度の回転に対して不変であるようなモーター部品だ。 This property is independent of the choice of the x-axis. この性質はX軸の選び方によらない。 As we argue below, 以下に論じるように、 the average speed of a motor with such a symmetry has to be exactly zero, whatever the choice of the x-direction. このような対称性のモーターの平均速度は、正確にゼロとなるはずだ、どのようなX方向を選んでも。 Indeed, a rotation of the motor by 180° implies a reversal of its motion along the x-axis, 実際、モーターの180度回転は、X軸に対しての運動の反転をほのめかす、 while on the other hand, since the rotated version is identical to the original motor, その一方で、回転した場合に元のモーターと区別がつくようであれば、 the statistics of its motion, and in particular its average speed, are not modified. 運動の統計は、そして特にその平均スピードは、修正されない。 Hence the average speed has to be zero. こうして平均スピードはゼロとなるはずだ。 Note that units with this symmetry property are described by F(θ) = F(π - θ) and thus a[2n+1] = b[2n+1] = 0, ∀n; この対称な性質を持つ部品は F(θ) = F(π - θ) で記述され、かくして全てのnについて、 a[2n+1] = b[2n+1] = 0 となる; see figures 11(c) and (d) for some examples. 図11(c) と (d) に例を示した。 Finally, it is instructive to apply the above formula to a specific case in which the theory is not valid. 最後に、上の式を理論が有効ではないような特定の場合にあてはめるのは、ためになるだろう。 Suppose that the units of the motor consist of elements of zero width, 幅が0の要素から成るモーターを考えてみよう、 e.g., without any interior; see figure 11(e) for an example. 例えば、内側を持たないような; 図11(e) の例を見よ。 Since for any line segment with orientation θ there is an identical segment with orientation θ + π, 角度θを為すどの線分についても、角度 θ + π と区別できるような線分が存在する、 one has F(θ) = F(θ + π). それは F(θ) = F(θ + π) で記述される。 We conclude that the theoretical speed is exactly zero. 我々は、理論的なスピードは正確にゼロと結論付ける。 However, the Boltzmann equation is no longer correct since a particle can hit the motor unit twice. しかし、ボルツマン方程式はもはや正確ではない、粒子がモーター部品に2回(以上)衝突するので。 Indeed, in order to break the left-right symmetry, such line elements have to be curved. 実際、左右の対称性を破っているために、このような線要素はカーブしなければならない。 As a consequence, the corresponding unit is necessarily a non-convex object. 結論として、対応する部品は必ず凸多角形ではない物体である。 In fact, one expects that such correlated sequences of collisions are responsible for the drift velocities that are observed in this case. 実際に我々は期待する、このように関連した一連の衝突は、横滑り速度の原因である、この場合に観測されるような。 This situation is reminiscent of Arrowina, built with completely flat line segments, このシミュレーションは「アローニア」を連想させる、完全に平らな線分で作られた、 but with correlated collisions arising from the presence of the reflecting boundary. しかし関連した衝突は、反射境界の存在から生じるのである。 ------------------------------------------------------------------------ 11. Thermal conductivity 熱伝導率 The above introduced motors cannot run forever, 上に紹介したモーターは永久に走らせることはできない、 except in the case of infinitely large reservoirs such as those assumed in our theoretical analysis. 無限に大きな容器の場合を除いて、それが我々の理論解析の想定である。 The reason is clear from both the simulations and the theoretical analysis: その理由は明白だ、シミュレーションと理論解析の両方から: the motor, consisting of units residing in reservoirs at different temperatures, モーターは、異なる温度の容器にある部品から成り立っているので、 will conduct heat, so that in the long run, 熱を伝える、そして長い実行の後に、 the system will relax to full thermodynamic equilibrium with equal temperature all over. システムは緩和する、全く温度が等しい完全な熱的平衡へと。 We will discuss this aspect in more detail for three reasons. 3つの理由によって、この側面を詳しく論じよう。 Firstly, it was overlooked by Feynman in his otherwise quantitative analysis. 第1に、これはファインマンも見落としている、彼の他の定量的な解析でも。 Secondly, the irreversible process associated to the heat conductivity is expected to seriously compromise the efficiency of the motor as a thermal engine. 第2に、熱伝導に関する非可逆過程によって、熱エンジンとしてのモーターの効率に重大な譲歩が考えられる。 Finally, the analytic theory allows a detailed discussion. 最後に、理論解析は詳細な議論を許す。 It vindicates the mesoscopic description given in [9, 10]. それは、[9, 10] で与えられたメゾスコピックな記述の正当性を立証する。 Indeed, to lowest order in the expansion in √(m/M), 実際、√(m/M)の展開の最低位として、 the theory shows that the speed V of a motor, residing in two reservoirs, 理論は次のことを示している、モーターのスピードV は、2つの容器に入っているので、 obeys a simple linear Langevin equation: 単純な線形ランジュバン方程式に従う: [* 式(33) *] where γ1 and γ2 are the friction coefficients in compartments 1 and 2, respectively. ここで γ1 と γ2 は、それぞれ容器1と2の摩擦係数を示している。 ξ1(t) and ξ2(t) are the Gaussian white fluctuating forces associated to each of the friction processes. ξ1(t) と ξ2(t) はガウス型白色動揺力である、それぞれの摩擦プロセスに関係した。 In other words, 言い換えれば、 the combined effect of both compartments to the motion can be obtained by adding the separate contributions, 両方の区画を運動へと結合する効果は、分離した寄与を加えることによって得られる、 which are moreover taken to be linear and of the equilibrium form. それらはさらに線形であることから得られ、平衡からも。 The rate of heat transfer Q1→2 (the heat flux) from compartment 1 to compartment 2 can now be calculated as follows. 熱が Q1→2 へ、区画1から2へとと移る(熱流)割合は、以下のように計算される。 From (33) one finds that the heat fluxes between the different constituents of the system are given by the following expressions at the steady state: (33)より、システムの異なる成分間での熱の流れは、定常状態における以下の展開より与えられる: [* 式(34) *] implying that the piston thermalizes at the effective temperature (γ1T1 + γ2T2)/(γ1 + γ2) これは示唆している、ピストンは実効温度 (γ1T1 + γ2T2)/(γ1 + γ2) で熱を加えている、 and that the heat flux obeys a Fourier law: そして熱の流れはフーリエの法則に従う: [* 式(35) *] with conductivity κ. ここで、κは伝導率である。 To check the validity of this prediction, we turn back to our hard disc simulations. 予測の正当性を確かめるため、剛体円のシミュレーションに立ち戻ろう。 Note that the friction in a single reservoir can be measured by putting the number of particles in the other reservoir equal to zero. 1つの容器内の摩擦は測定できる、他の容器内にいくつかの粒子を置くことによって、0に等しい。 In the insets to figure 12, 図12の中に、 we have included the velocity autocorrelation function of the piston in separate compartments. 異なる区画内のピストン の速度の自己相関関数を含めた。 We observe, to a reasonable approximation, 我々は観る、理に叶った近似として、 that the velocity correlations decay exponentially with a relaxation time proportional to the piston mass M. 速度相関は指数的に減衰する、緩和時間がピストンの質量Mに比例して。 From the decay times, 減衰時間から、 we find the friction coefficients γ1 ≒ 0.130 and γ2 ≒ 0.118 for the first and second compartments, respectively. 摩擦係数は、第1の区画と第2の区画でそれぞれ γ1 ≒ 0.130 と γ2 ≒ 0.118 であるとわかる。 According to formula (35), this predicts a conductivity of κ = 1.24 x 10^-3. 式(35)によれば、ここから伝導率は κ = 1.24 x 10^-3 と予測される。 Alternatively, the heat conduction is described by (N1 = N2 = N, kB = 1, the kinetic energy of the motor being neglected) [* 式(36) *] together with Q1→2 = κ(T1 - T2) implying an exponential decay of T1 - T2 with time constant N/(2κ). Q1→2 = κ(T1 - T2) と合わせて、T1 - T2 の指数的な減衰、時定数N/(2κ)が示唆される。 From the temperature decay of figure 12, 図12の温度減衰から、 a conductivity κ = 1.13 x 10^-3 is measured, 伝導率 κ = 1.13 x 10^-3 が測定される、 in reasonable agreement with the earlier result based on formula (35). それは、式(35)に基づく当初の結果とよく一致する。 ------------------------------------------------------------------------ 12. Discussion 議論 We close with a somewhat provocative discussion concerning the nature of the Brownian motor introduced in this paper. この論文で紹介したブラウン運動モーターの本質にかかわる、いくらかの挑発的な議論でしめくくろうと思う。 We mentioned an essential difference between the Brownian motor considered here and most of the other motors considered in the literature, 我々は、ここで考えたブラウン運動モーターと、他で考えられた文献にある大半のモーターとの、本質的な違いについて言及した。 including the Feynman ratchet, そこにはファインマン・ラチェットも含まれる、 namely that the rectification in our model is not at the expense of momentum exchange with a fixed substrate. 特に我々のモデルでの整流は、運動量を固定された基盤へ変換する支出を行っていない。 Consequently, the motion of the motor must be compensated by a counter motion of the surrounding gas. 結果として、モーターの運動量は保存されなければならない、モーターを取り囲む気体の反作用として。 We now argue that this has a profound implication on the nature of our Brownian motor. これこそが我々のブラウン運動モーターの本質的な意味なのではないかと言える。 Indeed, the remarkable insight by Onsager, 実際、オンサーガーの素晴らしい洞察によって、 that a small macroscopic disturbance decays in the same way as an equilibrium fluctuation, 小さなマクロのかく乱は、平衡揺らぎと同じ方法で減衰し、 culminated in the fluctuation dissipation theorem and in the theory of linear irreversible thermodynamics. 揺らぎの散逸定理、そして線形非可逆な熱力学の理論に達する。 It shows that macroscopic laws and the fluctuations of the corresponding variables pertaining to the linear regime around equilibrium can be handled in the context of the same macroscopic theory. マクロな法則と、平衡周りの線形な範囲に付随する変数に対応した揺らぎは、同じマクロの理論の文脈で扱うことができることが示された。 Most of the Brownian motor models can and have indeed been discussed in such a way, ほとんどのブラウン運動モーターモデルは、実際そういった方法で議論できるし、されている、 basically involving the calculation of fluxes in response to time-dependent gradients in chemical potential. 基本的に流れの計算を含んで、時間に依存した化学ポテンシャルの勾配に応答して。 However, as is clear from the technical discussion of our model, しかし、我々のモデルの技術的な議論から明らかなように、 the rectified motion appears beyond linear Langevin theory, 整流された運動は線形なランジュバン方程式を超えて出現する、 at a level where fluctuations and non-linearity are intrinsically intertwined. そのレベルでは揺らぎと非線形が本質的に結びついている。 For this reason we argue that our motor genuinely belongs to the microscopic world, この理由のため我々は次のように主張する、我々のモーターは純粋にマクロな世界に属している、 whereas most other models proposed earlier do not. そこでは、以前に提案されたほとんどの他のモデルがそうなっていなかったのだが。 ========================================================================