第四章 情報エントロピーの力
まとめ 〜 情報からエネルギーへ
2006/08/24  

本章では、不確定分子モーターの原理についての定式化を行った。

温度差の無い環境下で熱を仕事に変換する場合、取り出すことができる仕事の最大値は、その仕事自身に含まれる情報エントロピーに比例する。
不確定分子モーターという系から取り出すことができる仕事Eにi通りの出力パターンがあり、その各々の確率が Pi であったとすれば、情報エントロピーS'は
S' = k Σ[i] Pi ln ( 1/Pi )
で表される。 このとき仕事Eの最大値は
E <= T S'
となる。

不確定分子モーターを支える論拠は次の2点だ。

1.不確定は保存する。
2.時間座標は平行移動できる。

1.は情報の保存と言い換えてもよい。 ただ1つの原因には、ただ1つの結果のみが対応する。 N通りの原因にはN通りの結果が対応する。 決してN通りより多くも少なくもならない。 不確定の保存は古典力学に忠実に基づいた概念である。(量子力学でも成立する)

2.時間座標が平行移動できるとは、異なる時刻にある同一状態の系を重ね合わせることができる、ということである。 時間の持つ対称性と言ってもよい。 不確定分子モーターの1サイクルに要する時間が不定であったとしても、各サイクルの後に同一の状態に戻ってこれることが、時間座標の平行移動によって保証されることになる。

不確定分子モーターという、1サイクルに要する時間が不定(N通りのうちどれになるか分からない)な系が物理的に成立するかどうかを考えてみよう。 この系は1サイクルに1回、外部から熱を取り入れ、1回だけ外部に仕事を為す。 サイクルの長さが不定だから、外部に為した仕事には幾らかの(N通りの)不確定要素が含まれている。 この不確定要素が取り入れた熱と釣り合えば、1.を満たすことができる。 また、2.によって系は各サイクルの後に同一状態に戻ることができ、再び同様の動作を繰り返すことができるのである。 以上の2点から、不確定分子モーターなる系が物理的に成り立つ可能性が予測される。 (絶対にできる、という証明ではない。絶対にできないとは言い切れない、という可能性の主張だ。)

不確定分子モーターから出力されるエネルギーの大きさには理論的な上限が存在する。 不確定性原理 Δt・ΔE = h より、ある一定時間内に取り得る出力のパターン数には上限値が定まる。 上限値を具体的に見積もると、穏やかな化学反応程度と推測される。

取り出されるエネルギーについて、上記の

E <= T S'
は弱い制限であって、実際の制限はこれよりも強い。 例えば2単位時間(2秒)に1回必ずエネルギーを出力するといったパターンは確かに情報エントロピーを有してはいるが、不確定分子モーターの出力パターンにはなり得ない。 不確定分子モーターに課せられた出力パターンの条件とは、
「いかなる変換装置を取り付けたとしても、確定的な出力が得られないこと」
なのである。 確定的なパターンを言明するのはたやすいが、不確定であることの定式化は難しい。 しかし、いかなる観点からも規則性が見出せない、全くの不確定であるような出力パターンは確かに存在する。

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